第三章习题及答案
3-1. 写出FCC晶体在室温下所有可能的滑移系统(要求写出具体的晶面、晶向指数)。 答：共有12个可能的滑移系统：(111)[10]、(111)[01]、(111)[10]、(11)[110]、(11)[01]、
(11)[101]、(11)[110]、(11)[10]、(11)[011]、(11)[011]、(11)[101]、(11)[10]。 3-2. 已知某铜单晶试样的两个外表面分别是(001)和(111)。请分析当此晶体在室温下滑移时
在上述每个外表面上可能出现的滑移线彼此成什么角度？
答：可能的滑移面为{111}晶面族，它们与(001)面的交线只可能有[110]和[10]，所以滑
移线彼此平行或垂直。滑移面与(111)面的交线可能有[10]、[01]、[10]，所以滑移线彼此平行或成60o角。 3-3. 若直径为5mm的单晶铝棒在沿棒轴[123]方向加40N的拉力时即开始滑移，求铝在滑移时的临界分切应力。
解：单晶铝为FCC结构，滑移系统为{111}<110>，利用映象规则，知滑移面和滑移方
向为(11)[101]，它们与轴夹角分别为 cosυ= [123]·[11]/(|[123]| |[11]|) = 4/√42； cosλ= [123]·[101]/(|[123]| |[101]|) = 2/√7；
所以临界分切应力τc = Fcosλcosυ/A0 = … = 0.95MPa。
3-4. 利用计算机验证，决定滑移系统的映像规则对FCC晶体和具有{110}<111>滑移系统的
BCC晶体均适用。(提示：对于任意设定的外力方向，用计算机计算所有等价滑移系统的取向因子。)
答：μ= cosλcosυ，计算所有等价滑移系的μ，可发现μmax必对应映象规则所选择的滑移
系。 3-5. 如果沿FCC晶体的[110]方向拉伸，请写出可能起动的 滑移系统。
答：可能起动的滑移系统有四个，分别为(11)[101]、 (11)[011]、(111)[10]、(111)[01]。 3-6. 请在Mg的晶胞图中画出任一对可能的双滑移系统，并
标出具体指数。
答：Mg为HCP结构，其滑移系统为{0001}<110>和
{100}<110>，右图中标出一组可能的双滑移系统：(010)[20]和(100)[20]。 3-7. 证明取向因子的最大值为0.5(μmax =0.5)。 证：如右图，λ=
OB/OP，C为P的投影，∠POC=α，所以
cos2α= OC2/OP2 = (OA2+OB2)/OP2， 由此可得
μ= cosλcosυ= OA·OB/OP2
= cos2α·OA·OB/(OA2+OB2) ≤OA·OB/(OA2+OB2) ≤0.5，
当α=0或π，OA=OB时，μ取最大值0.5，此时F、n、 b
共面且λ=υ。
3-8. 如果沿铝单晶的[23]方向拉伸，请确定：(1) 初始滑移系统；(2) 转动规律和转轴；(3)
双滑移系统；(4) 双滑移开始时晶体的取向和切变量；(5) 双滑移过程中晶体的转动规律和转轴；(6) 晶体的最终取向(稳定取向)。
解：(1) 铝单晶为FCC结构，[23]位于取向三角形[001]―[11]―[101]中，所以初始滑
移系统为(111)[01]；
(2) 试样轴转向[01]，转轴为[23]×[01] = [2]，即[1]； (3) 双滑移系统为(111)[01]－(1)[101]； (4) 利用L = l + γ(l·n)b，设L = [u w]，得
L = [23]+4γ[01]/√6 ，由此可知u=2，w=4，γ=√6/4， 所以晶体取向为[24]，即[12]，切变量为√6/4；
(5) 双滑移时，试样轴一方面转向[01]，转轴n1 = [12]×[01] = [1]，同时转向
[101]，转轴n2 = [12]×[101] = [11]，合成转轴为[000]，所以晶体不再转动；
(6) 由(5)可知晶体最终取向为[12]。
3-9. 将上题中的拉伸改为压缩，重解上题。
解：(1) [23]位于取向三角形[001]―[11]―[101]中，所以初始滑移系统为(111)[01]； (2) 试样轴转向[111]，转轴为[23]×[111] = [13]； (3) 双滑移系统为(111)[01]－(11)[011]； (4) 利用A = a - γ(a·b)n，设A = [u 0 w]，得
A = [23]- 4γ[111]/√6 ，由此可知u=3，w=4，γ= -√6/4， 所以晶体取向为[304]，切变量为-√6/4；
(5) 双滑移时，试样轴一方面转向[111]，转轴n1 = [304]×[111] = [13]，同时转向
[11]，转轴n2 = [304]×[11] = [41]，合成转轴为[020]即[010]，所以双滑移后F点沿[001]－[101]边移动；
(6) 设稳定取向为[u’ 0 w’]，要使n= [000]，需有[u’ 0 w’]×([111]+[11]) = [000]，即
u’ = w’，故稳定取向为[101]。 3-10.将3-8题中的铝单晶改为铌单晶，重解该题。
解：(1) 铌单晶为BCC结构，[23]位于取向三角形[001]―[11]―[101]中，所以初始滑
移系统为(01)[111]；
(2) 试样轴转向[111]，转轴为[23]×[111] = [13]； (3) 双滑移系统为(01)[111]－(011)[11]； (4) 利用L = l + γ(l·n)b，设L = [u 0 w]，得
L = [23] +4γ[111]/√6 ，由此可知u=3，w=4，γ=√6/4， 所以晶体取向为[304]，切变量为√6/4；
(5) 双滑移时，试样轴一方面转向[111]，转轴n1 = [304]×[111] = [13]，同时转向
[11]，转轴n2 = [304]×[11] = [41]，合成转轴为[020]即[010]，所以双滑移后F点沿[001]－[101]边移动；
(6) 设稳定取向为[u’ 0 w’]，要使n= [000]，需有[u’ 0 w’]×([111]+[11]) = [000]，即
u’ = w’，故稳定取向为[101]。 3-11.分别用矢量代数法和解析几何法推导单晶试棒在拉伸时的长度变化公式。
解：(1) 设试棒原来的方向矢量为l，拉伸后变为L，n和b方向如图，则由此知 L = l+γ·OA·b = l+γ(l·n)b； ∴ L2 = L·L = [l+γ(l·n)b]·[l+γ(l·n)b] = l2 +2γ(l·n)( l·b) +γ2(l·n) 2
= l2(1+2γcosλ0 cosυ0 +γ2 cos2υ0)
∴ L = l·sqrt(1+2γcosλ0 cosυ0 +γ2 cos2υ0) (2) ∵ OA⊥AC
∴ OA = OC·cosυ0 = lcosυ0 ∴ CD =γ·OA =γlcosυ0 又∵ OB//CD
∴ ∠OCD =π-∠COB =π-λ0 ，可知 cos (π-λ0) = (OC2 +CD2 +OD2 )/(2OC·OD)
= (l2 +γ2l2cos2υ0 -L2)/(2γl2cos2υ0) => L2 = l2(1+2γcosλ0 cosυ0 +γ2 cos2υ0)
=> L = l·sqrt(1+2γcosλ0 cosυ0 +γ2 cos2υ0)。
3-12.用适当的原子投影图表示BCC晶体孪生时原子的运动，并由此图计算孪生时的切变，
分析孪生引起的堆垛次序变化和引起的层错的最短滑动矢量。
解：孪生面与孪生方向分别为
(12)[11]时原子投影图如图，γ= |[11]/6| / (? d(12)) = 1/√2 =0.707
基体部分堆垛次序为
ABCDEF，孪生面为，孪晶部分堆垛次序为FEDCBA，最短滑移矢量为1/6[11]。
3-13.用适当的原子投影图表示锌(c/a=1.86)单晶在孪生时原子的运动，并由图计算切变。
解：位移为AB-2AC = √(3a2 +c2 ) – 2*3a2 /√(3a2 +c2 )
= (c2 - 3a2 )/√(3a2 +c2 )
面间距为CD = √3ac/√(3a2 +c2 )
∴ γ= (AB-2AC)/ CD = (c2 - 3a2 )/(√3ac)
= (1.862 -3)/( √3*1.86) = 0.143。 3-14.用解析法(代公式法)计算锌在孪生时的切变，并和上题的结果相比较。
解：γ= [(c/a)2 –3] / (√3c/a) = 0.143，与上题结果相同。
3-15.已知镁(c/a=1.62)单晶在孪生时所需的临界分切应力比滑移时大好几倍，试问当沿着Mg
单晶的[0001]方向拉伸或者压缩时，晶体的变形方式如何？ 答：镁单晶的滑移系统为(0001)<110>、{100}<110>，可能的滑移方向均垂直于[0001]，
所以此时不发生滑移；c/a=1.62<√3，所以[0001]在K1、K2钝角区，孪生时会增长。因此在[0001]方向拉伸时会发生孪生，孪生使晶体位向发生变化，因而可能进一步滑移；而压缩时，滑移和孪生都不能发生，晶体表现出很强的脆性。 3-20.什么是织构(或择优取向)？形成形变织构(或加工织构)的基本原因是什么？
答：金属在冷加工以后，各晶粒的位向就有一定的关系，这样的一种位向分布就称为择
优取向，即织构。形成形变织构的根本原因是在加工过程中每个晶粒都沿一定的滑移面滑移，并按一定的规律转动，使滑移方向趋向于主应变方向或使滑移面趋向于压缩面。因此当形变量足够大时，大量晶粒的滑移方向或滑移面都将和拉伸方向或压缩面平行，
从而形成织构。
3-22.高度冷轧的铝板在高温退火后会形成完善的{001}<100>
织构(立方织构)。如果将这种铝板深冲成杯，会产生几个制耳？在何位置？
答：深冲时，平行于<100>方向拉伸时，8个滑移系统比
较易滑移，故在[010]、[00]、[100]、[00]方向出现四个制耳，此时μ＝1/√6；同时在<110>、<10>、<0>、<10>方向可能产生四个小制耳。
3-23.实践表明，高度冷轧的镁板在深冲时往往会裂开，试分析其原因。
答：镁板冷轧后会产生(0001)<110>织构，在平行或垂直于板面方向施加应力，取向因
子为零，几乎没有塑性，进一步加工就很易开裂。
第四章习题及答案
4-1. 在晶体中插入附加的柱状半原子面能否形成位错环？为什么？
答：不能形成位错环。假设能形成位错环，则该位错环各处均为刃型位错，根据l⊥b，则该位错环每一点处的b应沿着径向，也就是说环上各点的b不同，这与一条位错线只有一个b矛盾。 4-2. 请分析下述局部塑性变形会形成什么样的位错(要求指出位错线的方向和柏氏矢量)。
(1) 简单立方晶体，(010)面绕[001]轴发生纯弯曲。 (2) 简单立方晶体，(110)面绕[001]轴发生纯弯曲。 (3) FCC晶体，(110)面绕[001]轴发生纯弯曲。 (4) 简单立方晶体绕[001]轴扭转θ角。
答：(1) 刃型，l = [001]，b = a[010]； (2) 刃型，l = [001]，b = a[100]或a[010]； (3) 刃型，l = [001]，b = a[110]/2； (4) 螺型，l = [001]，b = a[001]。 4-3. 怎样的一对位错等价与一列空位(或一列间隙原子)？ 答：一个正刃型位错和一个负刃型位错的半原子面位于同一平面，中间如果空出一个原
子位就会形成一列空位，如果重叠了一个原子位就会形成一列间隙原子。 4-4. 在简单立方晶体的(001)投
影面上画出一个和柏氏矢量成45o的混合位错附近的原子组态。 答：见右图。
4-5. 当刃型位错周围的晶体中
含有(a)超平衡的空位、(b)超平衡的间隙原子、(c)低于平衡浓度的空位、(d)低于平衡浓度的间隙原子等四种情形时，该位错将怎样攀移？
答：(a) 正攀移； (b) 负攀移； (c) 负攀移； (d) 正攀移。
4-6. 指出图4-109中位错环ABCDA的各段位错线是什么性质的位错？它们在外应力τxy 作
用下将如何运动？(及σyy )
答：AB、BC、CD、DA各段都为刃型位错。在τxy 作用下，AB、CD段不运动，BC
向下滑移，DA向上滑移；在σyy 作用下，整个位错环向外扩大。 4-10.证明混合位错在其滑移面上、沿滑移方向的剪应力为τS =Gb(1-υcos2α)/[2πr(1-υ)]，式中
α是位错线l和柏氏矢量b之间的夹角，υ是波桑比，r是所论点到位错线的距离。
证：将b分解为b∥= bcosα和b⊥= bsinα，可得 τscrow =τ0 b∥ /r = Gbcosα/(2πr)，方向沿l；
τedge =τ0’ b⊥ /r = Gbsinα/[2πr(1-υ)]，方向垂直于l； ∴τS =τscrow cosα+τedge sinα
=Gb(1-υcos2α)/[2πr(1-υ)]。 4-11.证明作用在某平面n上的总应力p和应力张量σ的关系为p =σ?n，或用分量表示成pi