也就是证
a?ba?b， ?a(1?a)(1?b)b(1?a)(1?b)只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。 （3）数学归纳法。
例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.
【证明】 1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
(k?1)k?2kk?12）设n=k时有k>(k+1)，当n=k+1时，只需证(k+1)>(k+2)，即>1. 因为?1，所以k?1k(k?2)(k?1)k+1
k
k+2
k+1
(k?1)k?2kk?1只需证，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。 ?k?1k(k?2)(k?1)所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。
例6 设实数a0, a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,…, n-1). 【证明】 假设ak(k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2,…, an-1中第一个出现的正数，则a1≤0, a2≤0,…, ar-1≤0, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, …, n-1)。
所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2 ≥…≥ar-ar-1>0.
因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar >0与an=0矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。
x2?y2y2?z2z2?x2例7 已知x, y, z∈R，求证：???0.
y?zz?xx?y+
【证明】 不妨设x≥y, x≥z. ⅰ）x≥y≥z，则
111??，x2≥y2≥z2，由排序原理可得 x?yx?zy?zx2y2z2y2z2x2，原不等式成立。 ?????y?zz?xx?yy?zz?xx?yⅱ）x≥z≥y，则
111??，x2≥z2≥y2，由排序原理可得 x?zx?yy?zx2y2z2y2z2x2，原不等式成立。 ?????y?zz?xx?yy?zz?xx?y
（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+). 例8 求证：1?111????n?n(n?2). 232?1【证明】 1?1111?11?11??1????n?1?????????n?n???n? 232?44?2?12??22?????????2n?1?1n?11n?1???，得证。
22n2n2数学必修4 第 11 页 共 14 页
abc??. a?mb?mc?mababa?bm?????1?【证明】 a?mb?ma?b?ma?b?ma?b?ma?b?mmc?1??（因为a+b>c），得证。
c?mc?m例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：（7）引入参变量法。
b3例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=2?2的最小值。
xy+
a3ylkl(1?k)2,y?【解】 设?k，则x?，f(x,y)=
x1?k1?kl2?3b3???a?k2??? ??????113133333131323322??(a+b+3ab+3ab)= a?b?ak?ak?b??b??b??ak?222k??k??l?kl???????????????????(a?b)3l2(a?b)3ab. ，等号当且仅当?时成立。所以f(x, y)min=2xyl1≤k≤1, x3x4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，3例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 【证明】 设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有即
1?1?(1?k)2(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因为f(k)=k+在?,1?上递减，
k?3?4k11(1?k)2所以(x2+x3+x4)=(k??2)(x2+x3+x4)
4k4k13??23≤·3x2=4x2≤x2x3x4. 4所以原不等式成立。 （8）局部不等式。
例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：
xyz33?. ??22221?x1?y1?z【证明】 先证
x332?x. 221?x1?2?2????, 2?3?3331?2x2(1?x2)2?因为x(1-x2)=2数学必修4 第 12 页 共 14 页
xx2x2332所以???x. 22221?xx(1?x)33同理
y332?y，
21?y2z332?z，
21?z2所以
xyz3323322???(x?y?z)?.
221?x21?y21?z2abc??≤2。 bc?1ca?1ab?1例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：【证明】 先证
a2a?. ① bc?1a?b?c即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。 同理
b2bc2c?,?. ca?1a?b?cab?1a?b?c三个不等式相加即得原不等式成立。 （9）利用函数的思想。
例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=
111??的最小值。 a?bb?cc?a【解】 当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=
553，以下证明f(a, b, c) ≥. 不妨设a≥b≥c，则0≤c≤, 223f(a, b, c)=
2ca?b1??. c2?1c2?1a?b(a?b)2因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，
4解关于a+b的不等式得a+b≥2(c2?1-c). 考虑函数g(t)=
t1?, g(t)在[c2?1,??）上单调递增。 2c?1t又因为0≤c≤
3，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2(c2?1?c)≥c2?1. 32ca?b1?? 22c?1c?1a?b所以f(a, b, c)=
2c2(c2?1?c)1??≥2
2c?1c2?12(c?1?c)数学必修4 第 13 页 共 14 页
2cc2?1?c=2 ?2c?1c?1?1?c3c2?12?c?1?=2?
?2??2?2?c?1?c3c2?153(1?c2?1)c≥4?????.
22222下证3(1?c2?1)?c?0 ① ?3?c?3c2?1?c2+6c+9≥9c2+9?c?3?3??c?≥0 ?c?. 因为
4?4?c?33?，所以①式成立。 34所以f(a, b, c) ≥
55，所以f(a, b, c)min=. 22数学必修4 第 14 页 共 14 页