2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（5月5日8:00至10:00）
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程x2?2mx?m2?1?0的根大于?2，且小于4，则实数m的范围是 ．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．
3．设实数x，y满足x2?4x?y?3?0，则x2?y2的最大值与最小值之差是 ．
4．若存在正实数a，b满足(a?bi)n?(a?bi)n（i是虚数单位，n?N*），则n的最小值是 ．
5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则?A的取值范围是 ．
6．若数列?an?满足a4?9，(an?1?an?1)(an?1?3an)?0（n?N*），则满足条件的a1的所有可能值之积是 ．
607．已知f(x)?x?94x?2013，则?n?302?f(n)?f(n)?? ．
y?8．设x，y??0,2??，且满足2sinxcossixn?1coys??，则x?y的最大值
2为 ．
9．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、
DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是 ．
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平
方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完
全平方数，小王现在的年龄是 ．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． 11．设k为实数，0?k?6，椭圆E1:(x?k)92?y?1与椭圆E2:2x22?y?1交于点A和
9C，E1的左顶点为B，E2的右顶点为D（如图），若四边形ABCD是正方形，求实
数k．
12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、D'，A、C关于
对角线BD对称的点分别是A'、C'．证明：四边形A'B'C'D'是梯形．
13．设实数a，b满足0?a?
14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰
梯形的顶点．
12?b?1．证明：2(b?a)?cos?a?cos?b．