圆锥曲线的综合问题（理）
题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 2
2
x2y2
1.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1
94的( )
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：由直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点得
4
m2＋n2<4，点(m，22>2，m＋n
交
点
个
数
为
x2y2x2y2
n)表示的区域在椭圆＋＝1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点
9494个数为2个． 答案：B
2．抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆． 答案：C
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为22，则m6＋m4＝________.
2
??y＝2px，
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立?
?x＝my－m，?
l相切的圆共有
消去x得y2－2mpy＋2pm＝0， ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，
(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm. p?
又焦点??2，0?在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m， ∴|y1－y2|＝4m4＋m2， 1p
∴S△OAB＝×|y1－y2|＝22，
22－mm4＋m2＝2，平方得m6＋m4＝2.
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答案：2
题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 4.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( ) 12222A. B. C. D. 3333解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由拋物线定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|＝|AF|，
∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．
??y＝k(x＋2)，从而yA＝2yB，联立方程组?2?消去x得：
??y＝8x
8??y＋y＝，AB8ky2－y＋16＝0，∴??
k
??yA·yB＝168??3yB＝k，22
??消去yB得k＝. 32??2yB＝16答案：D
5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
( )
A．3 B．4 C．32 D．42 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，
?y＝－x2＋3?
由??x2＋x＋b－3＝0?x1＋x2＝－1， ??y＝x＋b
11
得AB的中点M(－，－＋b)，
22
11
又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，
22
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∴x2＋x－2＝0，
则|AB|＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝32. 答案：C
6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． 解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1.
??y＝x－1，?2?x2－6x＋1＝0?x＝3±22. ?y＝4x?
∵|FA|>|FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋22，B点的横坐标为3－22. |FA|xA＋14＋222＋26＋42
＝＝＝＝＝3＋22. |FB|xB＋14－222－22答案：3＋22
题组三 最值与取值范围问题 x2y27.(2009·银川模拟)已知对?k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实
5m数( )
A．(0,1) B．(0,5) C．x2＋2(1－λ)k2x－(1－λ)(k2＋λ)＝0， 由题意知：λ－(1－λ)k2≠0，
－2k2(1－λ)－(1－λ)(k2＋λ)
∴x1＋x2＝，xx＝，
λ－(1－λ)k212λ－(1－λ)k2k2λ2
∴y1y2＝k(x1－1)(x2－1)＝，
λ－(1－λ)k22
m的取值范围是
?????????∵OM·ON＝0，且M、N在双曲线右支上，
x1x2＋y1y2＝0??
∴?x1＋x2＞0??x1x2＞0
??
??λ
k＞??1－λ
k2＝
2
λ(1－λ)
λ2＋λ－1
λ(1－λ)λ??2＞5－12??λ＋λ－11－λ?＜λ＜. 23
??λ2＋λ－1＞0综上，知5－12
≤λ＜. 23
x2y2611．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3.
ab3(1)求椭圆C的方程；
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(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值．
c6??＝，解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意?a3
??a＝3，x22
∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y＝1.
3(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当AB⊥x轴时，|AB|＝3. ②当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知|m|3232
＝，得m＝(k＋1)． 2241＋k
3，求△AOB2
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， －6km3(m2－1)
∴x1＋x2＝2，x1x2＝2.
3k＋13k＋1
?36km－12(m－1)?
∴|AB|＝(1＋k)?2?
?(3k＋1)23k2＋1?
2
2
222
12(k2＋1)(3k2＋1－m2)3(k2＋1)(9k2＋1)＝＝ (3k2＋1)2(3k2＋1)212k2
＝3＋4＝3＋
9k＋6k2＋112
≤3＋＝4.
2×3＋6
13
当且仅当9k2＝2，即k＝±时等号成立．
k3当k＝0时，|AB|＝3. 综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值：
12
(k≠0) 12
9k＋2＋6
k
Smax＝×|AB|max×
1233＝. 22
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