《导数及其应用》单元测试题（文科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数f(x)??2?x?的导数是（ ）
2(A) f?(x)?4?x (B) f?(x)?4?2x (C) f?(x)?8?2x (D) f?(x)?16?x 2．函数f(x)?x?e?x的一个单调递增区间是（ ）
(A)??1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2? (D) ?0,2?
g?(x)?3．已知对任意实数x，有f(?x)??f(，x)f?(x)?，0?g(?x)，则x?0时（ ）
，且gxx?0时，
A．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0
3
B．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0
4．若函数f(x)?x?3bx?3b在?0,1?内有极小值，则（ ）
12（A） 0?b?1 （B） b?1 （C） b?0 （D） b?4
5．若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 6．曲线y?e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
94x2Ａ．e
2 Ｂ．2e
2Ｃ．e
2Ｄ．
e22
7．设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
8．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有
f(x)?0，则
f(1)f'(0)的最小值为（ ）
5232A．3 B． C．2 D．
9．设p:f(x)?ex?lnx?2x2?mx?1在(0，??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件
Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A）0?f(2)?f(3)?f(3)?f(2) y （B） 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2) （C）0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2) （D）0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3) O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是＿＿＿＿．
12．已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则
M?m?＿＿．
3////////13．点P在曲线y?x?x?323上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为?，则?的取值
范围是 14．已知函数y?13x?x?ax?5(1)若函数在???,???总是单调函数，则a的取值范围
32是 . (2)若函数在[1,??)上总是单调函数，则a的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．
（1）求a、b的值；
2（2）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围．
17．设函数f(x)??x3?3x?2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为、，该平面上动点P满足PA?PB?4,点Q是点P关于直（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）线y?2(x?4)的对称点，.求 (Ⅰ)求点A、B的坐标； (Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.
3218. 已知函数f(x)?2x?3x?3. （1）求曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程；
19．已知f(x)?ax33????????（2）若关于x的方程f?x??m?0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.
?(a?1)x?4x?1?a?R?
2（1）当a??1时，求函数的单调区间。
（2）当a?R时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a，使x???1,0?，函数有最小值－3？
20．已知函数f?x??x?a2x，g?x??x?lnx，其中a?0．
（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，求
实数a的取值范围．
【文科测试解答】 一、选择题
1．f(x)??2?x?2?4?2x2,?f?(x)?2?4?2x?2．f(x)?x?e3.(B)数形结合
4.A由f?(x)?3x2?3b?3?x2?b?,依题意，首先要求b>0, 所以f?(x)?3x?由单调性分析，x?b有极小值，由x?b??0,1?得.
?x2f?(x)?8?x;
?xex.?f?(x)?1?e?x?exx?e?x2?x?1?x??e，
?e?x2?0,?x?1选(A)
?bx???b
?5．解：与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0，故选A 6．（D） 7．（D） 8．（C） 9．（B）
10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ，
?f(3)?f(2)?f(3)?f(2)3?2?kAB y B T
?f?(3)?kBQ,f?(2)?kAT, A 如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q 切线AT的倾斜角 ?kBQ?kAB?kAT O 1 2 3 4 x
所以选B 11．?,???
?e??1?12．32
?13．?0,????3??,?? ???2??4?14. (1)a?1;(2)a??3;(3)a??3.
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
h?18?12x4?4.5?3x(m)3???0＜x＜?.
2??故长方体的体积为
V(x)?2x(4.5?3x)?9x22?6x(m)333(0＜x＜).
2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
23时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 16．解：（1）f?(x)?6x2?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．
?6?6a?3b?0，即?
24?12a?3b?0．?解得a??3，b?4．
（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，
2f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)．
32当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．
所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．
3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 则当x??0，