13.周练数学（理） 试题
参考公式：
球的表面积公式 S?4?R2 棱柱的体积公式V?Sh
球的体积公式 V??R3 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 其中R表示球的半径 棱台的体积公式V?h?S1?S1S2?S2?
棱锥的体积公式 V?Sh 其中S1,S2分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 h表示棱台的高
选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
134313，2}，B?{aa?2k?11.已知集合A?{1，k?A}，则A?B?（ ）
A．?1? B．?1,2? C．?1,2,3? D．? 2.已知函数y?f(x)?x是偶函数，且f(2)?1,则f(?2)?（ ） A.-1
B.1 C.-5 D.5
?????????????????????????3.在等腰?ABC中?BAC?90,AB?AC?2,BC?2BD,，AC?3AE，则AD?BE的值为 （ ）
A．?4 3 B．?11 C． 33D．
4 3?xy?0?4.已知实数x、y满足约束条件?x2?y2?4，则z?2x?y的取值范围是（ ）
?x?y?1?0?A．[?25，25]
2 B． C．[?25，2] D．[25，1] 5????????5.已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP?3FQ，
则QF=（ ）
85 B. C. 3 D. 2 321114?6.若正数a,b满足??1，则的最小值为（ ）
aba?1b?1A.
A．3 B．4 C．5 D．6
?1?3,??1?x?0?7．已知函数g(x)??x?1，若方程g(x)?mx?m?0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值
?x2?3x?2,0?x?1?范围是（ ）
A．(?911,?2]?[0,2] B．(?,?2]?[0,2] 44错错错错错911C．(?,?2]?[0,2) D．(?,?2]?[0,2)
448.如图，正方体ABCD?A?B?C?D?中，M为BC边的中点，点P在底面
A?B?C?D?上运动并且使?MAC???PAC?，那么点P的轨迹是（ ）
A．一段圆弧 B．一段椭圆弧 C．一段双曲线弧 D．一段抛物线弧
非选择题部分 (共110分)
错
错误！错未错错二、填空题.（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）
9. 在数列?an?中，Sn为它的前n项和，已知a2?3，a3?7，且数列?an?1?是等比数列，则a1? ▲ ，an? ▲ ，Sn? ▲ ????????000010.在?ABC中，AB??cos16,cos74?,BC??2cos61,2cos29?,则?ABC面积
????为 ▲ , AC? ▲
33336正视图6663333侧视图611．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ▲ ．该正四面体的体积为 ▲
俯视图?log(15?x),x?012.设函数f?x???2 则f?3?? ▲ , ff(x?2),x?0??f?2015??? ▲
x2y213．设F是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，O为坐标原点，点A,B分别在双曲线的两条渐近线上，
ab????????AF?x轴，BF∥OA，AB?OB?0，则该双曲线的离心率为 ▲
14.已知函数f(x)是R上的减函数，且y?f(x?2)的图象关于点(2,0)成中心对称．若不等式
f(a?sin?)?f(2?cos2?)?0 对任意??R恒成立，则a 的取值范围是 ▲
2215．设x,y为实数，若4x?y?1，则x?y的最大值是 ▲
三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
????????16.已知向量m?(sin(?x?)，?1)，n?(3，cos(?x?))(??0)，函数f(x)?m?n的图象的对称中心与对称轴之间
33的最小距离为
?4．
?]上的单调增区间； (Ⅰ)求?的值，并求函数f(x)在区间[0，(Ⅱ)△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)?1，cosC?
17．（本题满分15分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC． （1）求证：AC?平面BDEF； （2）求证：FC∥平面EAD； （3）求二面角A?FC?B的余弦值．
18.已知函数f?x??x2?ax?1，其中a?R，且a?0． （1）若f?x?在上不是单调函数，求a的取值范围； （2）求y?f?x?在区间??0,a??上的最大值；
3，a?53，求b的值． 5x2y219. （本小题满分15分）已知椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.
ab（1）若e?3，求椭圆的方程； 2（2）设直线y?kx与椭圆相交于A，B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点. 若坐标原点O在以MN为直
径的圆上，且
23，求k的取值范围. ?e?2220.已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有：
a1bn?a2bn?1?a3bn?2???an?1b2?anb1?2n?1?n?2．
(1)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列, 求b1,b2, 并证明数列{bn}是等比数列； (2)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由； (3)若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,求证：
1113??.......?? a1b1a2b2anbn2数学（理） 参考答案
一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分） 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）
n?19．__1__ ，2?1，2?2?n 10．
n2 ，5?22 211．66，182 12． 4 ，log215 13．
25235 14．a?? 15． 832三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(Ⅰ)解：f(x)?m?n?3sin(?x??3)?cos(?x??)?2sin(?x?) …4分
36?由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为所以T?令2k???4，
2???2?4??4??，??2 …………………………………………………5分
≤2x??6≤2k???2，解得k???3≤x≤k???6(k∈Z)
?2??]，所以所求单调增区间为[0，]，又x?[0，[，?]………………………8分
63(Ⅱ)解：f(A)?2sin(2A??6)?1，sin(2A??2k??5? 6?6)?1， 22A??6?2k???6或2A??6A?k?或A?k???3?)，故A?(k∈Z)，又A?(0，?3 ……………………10分
3∵cosC?，C?(0，?)，
5∴sinC?4?33?4，sinB?sin(A?C)?sin(?C)? 531053sinBba?33?4 ………………15分 ，∴b??sinAsinBsinA由正弦定理得
17． （Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO． 因为 四边形ABCD为菱形，所以AC?BD，
且O为AC中点． ……………………………1分
又FA=FC，所以 AC?FO． ………………………………3分 因为FO?BD?O，
所以AC?平面BDEF． ……………………………… 4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形， 所以AD//BC，DE//BF，
所以 平面FBC//平面EAD． ……………………7分 又FC?平面FBC，
所以FC// 平面EAD． ………………8分 （Ⅲ）解:因为四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，所以△DBF为等边三角形． 因为O为BD中点，所以FO?BD，故FO?平面ABCD．
由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． ………9分 设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，则BD=2，所以OB=1，
OA?OF?3．
所以O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3)．
????????所以CF?(3,0,3)，CB?(3,1,0)．
????????n?CF?0,设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)，则有????? ???n?CB?0.???3x?3z?0,所以? 取x=1，得n?(1,?3,?1)． ………………12分
??3x?y?0．?易知平面AFC的法向量为v?(0,1,0)． ………………14分
??u?v??15由二面角A-FC-B是锐角，得cos?n,v?????．
5uv所以二面角A-FC-B的余弦值为
18.解：（1）∵f?x?在上不是单调函数， ∴?1?
（2）①当a?0时，f(x)在??0,a??上递增， ∴f(x)max=2a?1………………7分
215． ………………15分 5a?1， ∴?2?a?2 ……………5分 2