数学奥数培训资料 将心注入 梦想可及
【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6=21.21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12.所以有下面的填法：
练习3：
1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。 2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。 3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
【例题4】 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。由于28÷3=9……1.那么2a除以3应该余2.因此，a可以为1、4或7。当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。
练习4：
1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
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课后作业
思考题
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第11讲 周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？
3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？
【例题2】 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。
练习2：
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？
2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？
3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？
【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
【思路导航】一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习3：
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？
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2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？
3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
【例题4】 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
【思路导航】这列数按每8个数一组有规律排列17 19 21 23 着。2001是这一列数中的第1001个数，1001÷31 29 27 25 8=125……1.即2001是这列数中第126组的第一个
… … … …
数，所以它所在的那一列是以字母B为代表的。
… … … …
练习4：
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D E A B C D
8 6 4 2 1 2 3
10 12 14 16 6 5 4 24 22 20 18 7 8 9
26 28 30 32 … … … …
… … … …
12 11 10 … … …
… … …
【例题5】 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？ 【思路导航】
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断重复出现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习5：
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？
2.444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？
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