第31届IMO试题
1. 弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。 设t=AM/AB，试用t表示EF/EG。
2. 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。
试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。 3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。 4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使 f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。
5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,...：
a. 设B已选择n2k，则A选择n2k+1满足
n2k<=n2k+1 <=n2k2；
b. 设A已选择n2k+1，则B选择n2k+2满足
n2k+1/n2k+2=pr
对某个p及r>=1成立。
若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0： (1) A有必胜策略； (2) B有必胜策略；
(3) A,B都没有必胜策略。
6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,...,19902（顺序不定）。
第32届IMO试题
1. 设I是△ABC的内心，∠A,∠B,∠C的交平分线分别交对边于A',B',C'点，求证:
1 AI·BI·CI 8
< ≤
4 AA'·BB'·CC' 27
2. 设n>6是一个整数，a1,a2,...,ak 都是小于n的正整数并且与n互素。 如果a2-a1=a3-a2=... =ak-ak-1>, 求证，n是质数或者是2的幂次方。
3. 试找出最小的整数n使得每一个S的n元子集都包含5个两两互素的数。
4. 设G是一个有k条边的连通图，试证明可是对这些边编号1,2,...,k使得对于每个属于
两条或两条以上的边的顶点， 从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。
注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。 每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i 5. X是△ABC内部中的一个点，试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30o。 6. 任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列x0,x1,x2,... 使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。 注：一个无限实数序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一个常数C使得|xi| 第33届IMO试题 1. 试找出所有的整数a,b,c满足1 3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。 4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。 5. 设S是三维空间中的一个有限点集， 集合Sx,Sy,Sz分别是S在平面yz,zx,xy上的投影， 求证：|S|2<=|Sx|·|Sy|·|Sz|。 其中|A|表示集合A的元素个数。 [注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。] 6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k<= S(n)，n2都可写成k个完全平方数的和。 a. 求证对每个n>=4有S(n)<=n2-14； 2 ? b. 试找出一个整数n使得S(n)=n-14； 2 ? c. 试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n-14。 ? 第34届IMO试题 1. 设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一个整数。 求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。 2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90o，AC·BD=AD·BC， o a. 计算(AB·CD)/(AC·BD)； o b. 求证△ACD,△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直。 3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。 试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。 4. 对平面上的三个点P,Q,R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P,Q,R共线当然有 m(PQR)=0)。 求证对任何点A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。 5. 问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且 f(n 6. 有n>1盏灯L0,L1，...,Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk。 一盏灯只有开或关两个状态，初始时刻它们全是开着的，依次执行步骤s0,s1,...,：在步骤si， 如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做。试证明： o a. 存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着； o b. 若n=2，则可使M(n)=n-1； o c. 若n=2 k+1k 2 ，则可使M(n)=n2-n+1。 第35届IMO试题 1. m和n都是正整数，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak， 求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。 2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。 3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数， 求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值。 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数。 5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1