2011年考研数学试题（数学二）
一、选择题
1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2.已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则A?2f?(0) B?f?(0) Cf?(0) D0
3.函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为 A0 B1 C2 D3
4.微分方程y???2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为 A
limx?0x2f(x)?2f(x3)?
x3a(e?x?e??x Bax(e?x?e??x)
Cx(ae?x?be??x) Dx2(ae?x?be??x)
5设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0 6.设I???40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??lncosxdx则I、J、K的大小关系是
44??00A I 7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位 ?100??100?????P1??111?,P2??001?,??矩阵。记?000???010??则A= AP1P2 BP2P1 DP1P2 CP2P1 *T8设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax?0的 ?1?1一个基础解系，则Ax?0的基础解系可为 A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com * 二、填空题 1?2xx9.lim()? x?0210.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)?0的解y? 11.曲线y?1?x0tantdt(0?x??4)的弧长s=____________ ??12.设函数 f(x)????,x?00,x?0,??0 ，则?222??xf(x)dx? 13.设平面区域D由y=x,圆x2?y2?2y及y轴所组成，则二重积分 ??xyda?________ D14.二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为________________ 三、解答题 15.已知函数F(x)??x0ln(1?t2)dtx?F(x)?0，试求?的取值范围。 ，设limF(x)?lim?x???x?01t3?t??x?133?116.设函数y=y(x)有参数方程y?t3?t?1?33，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及 拐点。 17.设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取 ?2z得极值g(1)=1,求 ?x?yx?1,y?1 18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记?是曲线l在 d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx111?ln(1?)? 19.证明：1）对任意正整数n，都有 n?1nn112）设an?1?????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 2n点（x,y)外切线的倾角 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由 11x2?y2?2y(y?),x2?y2?1(y?)连接而成。 22（1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com 加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3） 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0, ??f(x,y)dxdy?a，其 D中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I?22. X P Y P -1 1/3 0 1/3 ??xy?D?xy(x,y)dxdy。 1 2/3 0 1/3 1 1/3 P(X2?Y2)?1 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY ?11???11?????23.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00? ??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com 参考答案 选择题：CBCC ABDD 填空题： 9.2 10.y?e?xsinx 11.ln(2?1) 12. 解答题： 15.解： 1? 13 7 14. 2 12当a?0,因为limF(x)???,所以结论不正确x????当a?0，limF(x)?limx???x???x?0?x0ln(1?t2)dtxaln(1?x2)2x1?lim?lim?0,得a?0a?12a?2x???x???ax1?xa(a?1)x?limF(x)?limx???x0ln(1?t2)dtxaln(1?x2)x2?lim?lim?0得2?a?1,所以a?3a?1x?0?x?0?axaxa?1于是1?a?316.解： sss17.解： ?z?f1?[xy,yg(x)]y?f2?[xy,yg(x)]yg?(x)?x?2z??(xy,yg(x)?g(x)f12??(xy,yg(x)]?f1?[xy,yg(x)]?y[xf11?x?y?2z??(1,1)?f12??(1,1)?fx?(1,1)?f11?x?y18.解： dyd??tan?,两边对x求导得：sec2??y??,即(1?y?2)y??y??,dxdxdpdpy???(1?y?2)y?于是有y(0)?0,y?(0)?1,令y??p,则y???,于是有?p(1?p2),变量分离得dxdxp1p1x ln?x?C1,带入初始条件得C1?ln,故?e,22221?p1?p?平方解得：p?ex2?e2x,y??ex2?e2xdx??2?e2x?C2因为y(o)?0,所以C2?2,故y?2?2?e2x.19.解： 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com 11111(1)f(x)?ln(1?x)在[0,]应用中值定理，ln(1?)?ln(1?)?ln1?nnn1??n11111110???,?1,即?ln(1?)?11n1?11??nn1?nnn1(2)an?1?1?1/2????ln(n?1)n?1111an?1?an??ln(n?1)?lnn??,n???n?1n?1n?1?其中an?1?an?0,an?1?an即?an?单调递减1111?ln(1?)?(1?)???ln(1?)?lnnn12nn?1?ln2?ln3/2???ln?lnnnn?1?ln(n?1)?lnn?ln?0n?an?单调递减有界，故收敛。an?1?1/2???20.解： (1)V??(2)W??212?1 ?1212(2y?y)dy?22?(1?y2)dy?9?42?2(2y?y)?g?x1dy?22?12?112?1(1?y2)?g?x2dy ?212(2?y)?g?(2y?y)dy?17.2411?(2?y)?g?(1?y2)dy??g??2421.解： ??(x,y)dxdy??xdx?yfxy??(x,y)dyI???xyfxyD00?10??(x,y)dy??ydfx?(x,y)?yfxy?(x,y)1?yfxy0??fx(x,y)dy,00111110000011??(x,y)dy??xfx?(x,1)dx??xdx?yfx?(x,y)dy于是，I??xdx?yfxy???xf(x,1)10??xdx?yfx(x,y)dy???dy?xfx(x,y)dx00001111 ??[?xfx(x,y)10dy??dy?fx(x,y)dx]??dy?f(x,y)dx???f(x,y)dxdy?a00000D1111122.解： 您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com 1011)??1,?2,?3?013?1?0115?r(?1,?2,?3)?3又??1,?2,?3不能由?1，?2，?3线性表示，?r(?1，?2，?3)?3,于是?1，?2，?3?0，解得a?5?101111??101111??101111???????2)(?1,?2,?3,?1，?2，?3)??003123???013123???013123??115135??014024??601?101????????100210???1?2?1?4?2??3?????010420?于是??2??1?2?2?0?3?001?101????0??0???123???1 23.解： ?1??1?????令?1??0?，?2??0?则A?1???1,A?2??2,??1??1?????根据特征值向量的定义，A的特征值为?1??1,?2?1,对应的线性无关的特征向量为?1??1??????1??0?，?2??0??r(A)?2?3,?A?0故?3?0??1??1??????x1???T1?3?0令?3??x2?为矩阵A的相应于?3?0的特征向量?A为实矩阵，所以有??2T?3?0?x??3???0???x1?x3?0即x1?x3?0解得?1??0?????1??1??1??0??2??1??1??2）?1?2?3单位化得：r1?（r1,r2,r3)??0?0?,r2??0?,r3??1?,令Q?2??2????1?0??11???????2???100???100??001???????则QTAQ??010?,于是A?Q?010?QT??000??000??000??100??????? 12012?0??1?,0???您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问http://download.kaoyan.com