11109876543211234567891011
图三 J-PCG
四 三种迭代法效率分析
有场的等值图可以看出，三种迭代方法的结果（达到相同的精度）比较一致，但是J-PCG只需要37次（耗时0.1100秒）迭代即可达到比较好的结果；超松弛迭代法需要48次（耗时0.0310秒）迭代即可达到满意的结果；块Gauss-Sediel迭代法需要93次（耗时1.3280）迭代才到达满意的结果。所以对此问题来说，超松弛迭代法和J-PCG法的效率要好于块Gauss-Sediel迭代法。
一. 任务：
用MATLAB语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M文件）。并用此程
序进行数值试验，写出计算实习报告。 二. 程序功能要求：
在书中Page355或Page345的程序leastp.m（见附一）的基础上进行修改，使其更加完善。要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。所编程序具有以下功能：
1. 用Lengendre多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。
P0(x)?1,P1(x)?x可利用递推关系 Pn(x)???(2n?1)xPn?1(x)?(n?1)Pn?2(x)??/n
n?2,3,.....2. 被逼近函数f(x)不用内联函数构造，而改用M文件建立数学函数。这样，此程序可通过
修改建立数学函数的M文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。 3. 要考虑一般的情况f(x)?[a,b]?[?1,?1]。因此，程序中要有变量代换的功能。 4. 计算组合系数时，计算函数的积分采用变步长复化梯形求积法（见附三）。
5. 程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。另外，程序中也要有必要的反馈信息。 6. 程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点x0(可以是一个数值或向量)
（2）区间端点：a,b。
7. 程序输出：（1）拟合系数：c0,c1,c2,...,cn
（2）待求的被逼近函数值
1. 基本原理：
设内积空间Ｘ，取线性无关组?span{?0?x?，?，?1?x?，?n?x?,构造Ｘ的子空间 Ｈ＝
0?x?，?，?1?x?，?n?x?,},对被逼近函数f(x)不属于Ｈ构造逼近函数s(x):
ns(x)= ?j?02
c??x?
jj求出系数c0,c1, …,cn,使‖f(x)-s(x)‖2=min,则函数s(x)就是f(x)H在中的最佳平方逼近元。
若取正交函数组?0?x?，?，?1?x?，?n?x?,对权函数ρ(x)满足
?x?,?j?x?=???x???x???x?dx=?ijb（i,j=0,1,…，n）
??i?b0i?j2?i?x?2i?j
以Legendre正交多项式为函数的最佳平方逼近多项式，若f(x)=xcos(x),x∈[-1，1]，用p1(x)=1,p2(x)=x,p3(x)=(3x2-1)/2,p4(x)=(5x3-3x)/2构造函数f(x)的三次最佳平方逼近多项式 :
s(x)=c1p1(x)+c2 p2(x)+c3 p3(x)+c4 p4(x)
2 程序功能：
该程序可对被拟合函数做以Legendre多项式为基的最佳平方拟合，拟合数据可以是一个点或一个向量，并绘出该函数与拟合多项式以及泰勒展式在指定区间上的对比图。 3 使用说明：
程序用法简单，只需输入拟合数据点x，拟合区间a、b的值，以及[c,s]=leasp(x,a,b),程序即可自动运行。 4 源程序： (1) 主程序M文件
%LEASTP.M: 以Legendre多项式为基的最佳平方拟合 function [c,s]=leastp(x,a,b) %x:输入拟合点 %func:输入拟合函数 %c:输出拟合系数 %s:输出拟合值
if nargin<3, disp('必须输入三个参数'); return;end ff=@func; for i=1:4
pp(i)=2/(2*(i-1)+1); end
c(1)=quad('func',a,b)/pp(1)*(2/(b-a));
c(2)=quad('fp2',a,b,[ ],[ ],a,b)/pp(2)*(2/(b-a)); c(3)=quad('fp3',a,b,[ ],[ ],a,b)/pp(3)*(2/(b-a)); c(4)=quad('fp4',a,b,[ ],[ ],a,b)/pp(4)*(2/(b-a)); s=c(1)+c(2)*p2(x,a,b)+c(3)*p3(x,a,b)+c(4)*p4(x,a,b); x0=a:0.15:b;
s0=c(1)+c(2)*p2(x0,a,b)+c(3)*p3(x0,a,b)+c(4)*p4(x0,a,b);
plot(x0,s0,'r-'); %绘制多项式拟合图 hold on
fplot(ff,[a,b,feval(ff,a),feval(ff,b)],'c'); % 绘制拟合函数图 syms xx
ff1=xx*cos(xx); y1=taylor(ff1,xx,4); hold on
ezplot(y1,[a,b]); % 绘制拟合函数的泰勒展式图像 title('comparison figure of fitted funcyion,fitting polynomials and taylor formulation');
plot(x,s,'r *'); %数据点
legend('原 函 数 f(x)','最佳逼近s(x)','泰勒展开T(x)','数据点');
(2) legendre多项式M文件 function y=p2(x,a,b) t=(2*x-a-b)./(b-a); y=t;
function y=p3(x,a,b) t=(2*x-a-b)/(b-a); y=(3*t.^2-1)/2; function y=p4(x,a,b) t=(2*x-a-b)./(b-a); y=(5*t.^3-3*t)/2;
(3) 函数与多项式内积M文件 function y=fp2(x,a,b)
y=feval('p2',x,a,b).*feval('func',x); function y=fp3(x,a,b)
y=feval('p3',x,a,b).*feval('func',x); function y=fp4(x,a,b)
y=feval('p4',x,a,b).*feval('func',x);
(4) 函数M文件 function f=func(x) f=x.*cos(x);