解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向由题意可知，点Q随点P向右移动而向右平行移动，而点R又随Q的移动而移动。②画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态
的三种情况，如图①、②、③
案例3（3）图① 案例3（3）图② 案例3（3）图③
③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程
根据题意我们可知，，PQ=，BQ＝x，RQ=，建立等式模型时，和案例1
相同，我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。
如图①，当PQ=PR，过P作PM⊥RQ于M，M点为RQ中点，则QM=RQ=
=，由题意可知∠1+∠2=90°，∠C+∠B=90°，∠2=∠B，则∠1=∠
C，即Rt⊿QMP∽Rt⊿CAB，，即，解得
如图②，当QP=QR时，=，解得
如图③，当RP=RQ时，过R作RN⊥PQ于N，则NQ=PQ=，∠NQR+∠RQC=
90°，∠RQC +∠C=90°,则∠NQR=∠C，则Rt⊿QNR∽Rt⊿CAB，，即
，解得，
综上所述，当为
，或6，或时，⊿PQR为等腰三角形。
【练习】（2009江西）如图（5），在等腰梯形点
作
到
交
于点
．
到作
.
中，，的距离为
交
) 于点
.
，是的中点，过
（1）求点（2）点交折线①当点
的距离；(过程略，上的一个动点，过，连结
，设
为线段
于点在线段
，过作
上时，如图（6），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长=
，使
）
为等腰三角形？若存在，
的周长；若改变，请说明理由；（过程略，②当点
在线段
上时，如图（7），是否存在点
请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（7）中完成） ②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图①②③中完成）
③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程 点拨：当点N在线段DC上运动时，⊿PMN的形状发生改变，但⊿MNC恒为等边三角形。过E作EG⊥BC于G，PM=EG=
，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此问用到的方法与
案例3类似，只不过这题∠B的度数更为特殊，由等腰三角形分解为直角三角形就为30°的直角三角形，所以用锐角三角函数比相似更容易建立方程，此问答案为当
、
或时，⊿PMN为等腰三角形，过程请读者自行完成。
三、两动点在同一直线上运动，另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题 【案例4】（2009怀化）如图（8），在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（过程略，t =（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（过程略，S=174） （3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
）
解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向点P、F同向向x轴右移动，点Q在与x轴平行的BC上向左移动②画出动态三角形形成等腰三角形的截图③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程
点拨：此题由于动态△PQF的三边任何时候都可以表示出来，所以分析②可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。由题意可知QB=t，OP=2t，可推到出AF=2t，进而PF=15-2t+2t=15， QP=QF=
=
=
，
①当PQ=PF时，则=15，解得或
②当QP=QF时，则=，解得
③当FQ=FP时，则=15，解得或（舍）
综上所述，当，，，时，△PQF是等腰三角形．
【拓展】（2009江苏）如图（9-1），已知射线DE与轴和
．动点
从点
轴分别交于点和点
出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与
此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（答案：，）
（2）以点C为圆心、左侧），连接PA、PB． ①当
个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的
与射线DE有公共点时，求的取值范围；
（答案：②当
）
为等腰三角形时，求的值．
解：（2-2）【分析】①确定定点、动点、运动方向A、B同向向x轴左移动，P点由点D向点B运动②画出动态三角形形成等腰三角形的截图③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程
点拨：此题由于动态△PAB的三边任何时候都可以表示出来，所以分析②可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。
如图（9-2）由题意可知MC=t，BC=CA=，则MB=BC=CA=，进而AB=t，OA=，
OB=,又PD=t，由相似可知PQ=，QD=，OQ=QP=
==QF=
=
此问的答案为当，，，时，△PAB是等腰三角形，过程请读者自行
完成。
新课程实施以来，以动点几何为背景的压轴题，以等腰三角形为重要考点，是近年来中考压轴题中的一种重要题型。这类试题将代数和几何的众多知识有效整合，能有效考查学生分析新问题和解决新问题的能力，将解等腰三角形的所涉及到的分类思想，数形结合、化归、方程思想(根据勾股定理，相似，锐角三角函数列方程)体现得淋漓尽致。此题型属初高中衔接点，它对学生综合能力要求高，绝对难度大，很具有区分度。但这类新问题对培养学生的思维品质和各种数学能力都有很大的促进功能，对提高学生综合运用知识解决问题的能力有极大的帮助。解这类题不是一堂两堂课，一个专题就可以解决，它要求我们在平时教学中能渗透运动理念，用运动的眼光看问题，掌握好四个环节：渗透—变换—量化—训练，进行科学的施教。