。 B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”
则P(A1)?0.92,P(A2)?0.05,P(A3)?0.03,P(BA1)?0.5，P(BA2)?0.15，P(BA3)?0.1，根据全概率公式，有：
P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)?0.4705
1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。 解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：
P(A)?0.51,P(A)?0.49,P(BA)?0.05,P(BA)?0.025,因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)?P(AB)P(B)?P(AB)P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?102151
1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率
解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：
P(A)?0.005,P(A)?0.995,P(BA)?0.95,P(BA)?0.01,
因此根据贝叶斯公式，所求概率为：
P(AB)?P(AB)P(B)?P(AB)P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?95294
1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.
(1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少? 解：设，B1?{产品为甲厂生产A?{产品为合格品}，则
},B2?{产品为乙厂生产},B3?{产品为丙厂生产},
（1）根据全概率公式，P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)?0.94，该批产品的合格率为0.94.
（2）根据贝叶斯公式，P(B1A)?同理可以求得P(B2A)?2794P(B1)P(AB1)P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)?1994
,P(B3A)?2447，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取
192724。 ,,949447一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：
1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和 0.9，求目标被击中的概率。
解：记A={目标被击中}，则P(A)?1?P(A)?1?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.7)?0.994
1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.
解：记A4={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，A4={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而P(A4)?0.5904，因此P(A4)?1?P(A4)?P(AAAA)?P(A)4?0.4096。所以
P(A)?0.8,P(A1)?1?0.8?0.2
12三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：C3P(A)(1?P(A))?3?0.2?0.64?0.384。
二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：
Pm?nm!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 （1） 排列组合公式 Cm?nm!n!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n （2）加法和乘法原理 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （4）随机试验和随机事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （5）基本事②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 和事件 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件?的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A?B，也可表示为A?AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 （6）事件的关系与运算 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B??，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ??A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合律：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 对偶律： A?B?A?B，A?B?A?B 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率的公理化定义 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有 ????P?Ai?????i?1???P(A)ii?1 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 1° ????1,?2??n?， （8）古典概型 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1n。 设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)?L(A)L(?)（9）几何概型 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公式 （11）减法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)P(A)为事件A发生条件下，事（12）条件概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)?P(AB)P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 。 （13）乘法公式 更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，则有 P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(AB)P(A)P(B)P(B|A)???P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 （14）独立性 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 （15）全概公式 设事件B1,B2,?,Bn满足 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， nA?2°则有 ?Bi?1i， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，?，Bn及A满足 1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，P(Bi)?0,?Bi??，i=1，2，?，n， 2° P(A)?0，则 （16）贝叶斯公式 P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)n，i=1，2，?n。 ?P(Bj?1j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。 （i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，?，P(Bi)，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为q?1?p，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k次的概率， Pn(k)?（17）伯努利概型 Cknpqkn?k，k?0,1,2,?,n。