7、二次函数（八上ch22）
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念； 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征： 二、二次函数的性质
1. y?ax2的性质：a 的绝对值越大，开口越小。（a的符号、开口方向、顶点、对称轴、性质） 2. y?ax2?c的性质：（上加下减）。 3. y?a?x?h?的性质：（左加右减）。 4. y?a?x?h??k的性质： 三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；
⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k222
2. 平移规律：“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．“左加右减，上加下减”． 四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到b?4ac?b2b4ac?b2?前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法：五点绘图法
画草图时应抓住：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?bb 1. 当a?0时，开口：向上；对称轴：x??；顶点：??，时， ?．增减性：x??2a4a2a2a??4ac?b2bb． y随x增大而减小；x??时，y随x增大而增大。最值：x??时，y有最小值
2a2a4a 2. 当a?0时（略）
1
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是与x轴两交点的横坐标）（适用于实根存在时）. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a： a?0时开口向上，a?0时开口向下；a越大开口越小，a越小开口越大。 2. 一次项系数b：b决定对称轴． 3. 常数项c确定抛物线与y轴的交点位置 4、解析式的确定：待定系数法．
(1) 已知三点用一般式；(2)已知顶点或对称轴或最值用顶点式；(3) 已知与x轴两交点用两根式； 九、二次函数图象的对称：
1. 关于x轴对称： y?ax2?bx?c关于x轴对称后，是y??ax2?bx?c； （用-y换y） 2. 关于y轴对称： y?ax2?bx?c关于y轴对称后，是y?ax2?bx?c； （用-x换x） 3. 关于原点对称： y?ax2?bx?c关于原点对称后，是y??ax2?bx?c； （用-x,-y换x,y） 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） y?a?x??h?关于顶点对称后，是ky??a?x?h??k． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系
0?，B?x2，0?(x1?x2)， x1，x2方程① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，22b2?4ac. ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．
2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常见题型：
⑴ 求函数图象与x轴交点坐标，化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最值，配方法将二次函数转化为顶点式；
⑶ 根据图象位置判断函数a，b，c的符号，或由a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 十一、函数的应用
2
y=-2(x+3)2y=-2x2
y=-2(x-3)2
二次函数考查重点与常见题型
1． 2．
考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内
已知以x为自变量的二次函数y?(m?2)x2?m2?m?2的图像经过原点， 则m的值是 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y?kx2?bx?1的图像大致是（ ）
y y y y
1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D y=2x2y=2(x-4)23． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出
现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x?y=2(x-4)2-3这条抛物线的解析式。
数的极值，有关试题为解答题，如：
5，求34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函
已知抛物线y?ax2?bx?c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐
3
标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y?ax2?bx?c的图像如图1，则点M(b,)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3
ca
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． （1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.
2
2
2
125例5、已知抛物线y=x+x-．
22
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点
2
(x1?x2)，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1 ∴x2>O，x1 ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． 4 2 2 2 (2)存在点M使∠MC0<∠ACO． (2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)， ∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 ?12c?bc?c??2,y?1x2?bx?c?解答[] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得22? b?b???33,,???解得 1??c?2.?2?1y?x2?3x?2.图象如图所示。 2?所以所求二次函数解析式为 122（2）在解析式中令y=0，得x?3x?2?0，解得x1?3?5,x2?3?5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3?5,0). 5令x=3代入解析式，得y??, 2125所以抛物线y?x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?)等等。 212x?bx?c的图象经过点A（c，－2）， 2 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 5 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 ? y（件） 25 20 10 ? 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ ?15k?b?25, 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则? 解得k=-1，b=40，?即一次函数 2k?b?20?表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 6