此时时间为：t?4?m12T1? 33Bq之后要重复走6次，粒子状态才能还原，周期 T?8?m1Bq
第五题（20分） 非洲杀人湖
非洲有一个由火山口形成的湖泊，由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底溶有大量CO2，由于挠动CO2大量集中涌至湖面，造成人畜窒息。为了简单起见，假设温度恒定为T0时，CO2达到溶解平衡时气相中CO2的分压P与液相中CO2的摩尔浓度C满足P=?C。其中P被称为（溶解气体后密度几乎不变） CO2的饱和气压。湖的深度为H，水密度为?。
①在湖底CO2浓度恒定为C0，大气压为P0，假设只要水中压强小于CO2的溶解平衡压强，就有CO2逸出，计算出开始有CO2逸出的深度h。（假设你算出的0?h?H）
②实际上在h的位置并不会有CO2逸出。由于涨落水中可能出现一些半径为r的小气泡，气泡中CO2与溶液保持溶解平衡。（水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略）液体的表面张力为?，若外压过大则气泡被压回水中，否则气泡进一步长大，形成CO2集中快速逸出，对人畜构成危险，计算出CO2快出逸出的最大深度h'（假设你算出的0?h'?H）
③某人插了一根管子到水底，不断向内鼓气，解决了杀人湖的问题，解释这个原理。 【解】：
①P0??gh??C0（5分） ?h??C0?P0（2分） ?g2?r
②单层薄膜：?P?P0??gh'?2???C0（6分） r?h'??C0?2??P0r（2分） ?g第29届复赛模拟赛题 第四套
6
即达到h'之前溶液是过饱和的。到达h'的深度时，一旦出现一个气泡半径超过r，则附加压强变小，气泡进一步变大，多溶解的CO2就会集中冒出。
③用管子鼓的气泡半径较大，产生的附加压可以忽略不计，故一但水中溶解的CO2溶度较大，就会持续析出，而不会如第二问中集中冒出。（5分）
第六题（20分）
如图，用八根单位长度电阻为r的电阻线焊接成两个正方形（焊接点电阻为零）。大正方形边长为
l。在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场
?B?k。 ?t①求AC、AB导线上的电流
②求AC两点电势差UA?UC和AB两点电势差UA?UB。
ACB
【解】：
大正方形的感应电动势为：?1?l2k（以逆时针为正方向）（3分）
l2小正方形感应电动势为：?2?k（3分）
2由对称性知外圆电流相等，内圈电流也相等，没有电流从内圈到外圈。
?lk故：AC上电流：i1?1?（3分）（逆时针为正方向）
4rd4r?lk（3分） AB上电流为：i2?2?22rl42r?l②UAC??1?i1r?0（4分）
82?lUAC??2?i2r?0（4分）
42
第七题（20分） 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候，青蛙刚好能看见全部天空，水的折射为n?1.33。
①若此时月亮位于天顶，则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少？
②当水漏掉一半的时候，青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少？（认为星星很多，均匀的分布在天空中） ③接上一问，青蛙的视野中，“天空”的边缘与“天空”的中心，星星的密度之比为多少？
第29届复赛模拟赛题 第四套
7
：
地上的人看到的月亮的角宽度为?，则青蛙看到的月亮的角宽度为?'满足：?'n????'??n?34?（3分） 故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的大小之比为3:4（2分）
iγhR
②设井半径为R，则可得井深h满足： sini?nsinr ?1?nRh2?R2?h?79R
水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度?C满足：
??sin?C?nsin?C??h?2tan?C?h2tan?（2分） C?R第29届复赛模拟赛题 第四套
8
【解】
3sin?C64?tan?C??
971?sin2?C16数值解列表（2分）
数值解得：?C?55.9o（2分） 星星数之比值为立体角的比值： 2π(1?cos?C):(2π)=0.44:1（2分）
③ 令入射角为?，折射角为i，
令青蛙从0到i角度为看到的星星数为Nf(i) 令人从0到?角度为看到的星星数为Nh(?) 显然Nf(i)?Nh(?)， 令密度为?f(i),?h(?) 则有?f(i)d?i??h(?)d??
（2分）
其中?为立体角，d???2?sin?d? （1分） 因此?f(i)??hnd?cosi??hn2 dicos?（3分）
（1、人看到的密度是不变的，2、用了正弦定理） 由此i?0时
?f??hn2
由此i?38.4?时
?f?1.40?hn2 （3分）
第八题（18分）
两面平行放置的镜子A、B分别以0.6c和0.8c的速度相向运动，在地面参照系中某时刻两镜相距
l，此时从A镜面向着B发出一束激光，在A镜参照系中，激光频率为f0，激光在两面镜子间来回反
射。
l①在地面看来，当A、B间距变为时，激光走过的路程为多少？
8②从A镜为参照系，从激光发出到第一次被A镜面反射，经过了多长时间？
③以A镜为参照系，激光先被B反射，之后第一次被A镜面反射后的频率为多少？
A0.6cl0.8cB
第29届复赛模拟赛题 第四套
9
【解】：
地面系中A、B走过的路程之和（不是相对速度！！！）：(0.6c?0.8c)t?78l（2分）
故激光走过的路程为：ct?58l（3分）
②注意：AB之间不是相对静止的，不能用尺缩！！
在地面参照系看，经过tll2l1?5(1?0.8)c?5l9c，此时AB距离l'?l?9c(0.6c?0.8c)?9
再次回到A，进过时间t12l2?(1?0.6)c9?5l36c 从A出发，回到A，因而可以利用钟慢效应t'?(t25l1?t2)1?0.6?9c（7分） 利用其它做法得到正确答案给全分。 ③
地上看A发射频率为f1?0.61?f01?0.6 在B上看A发射频率f1?0.82?f11?0.8
在地上看B反射频率f1?0.83?f21?0.8 在A上看B反射频率f1?0.64?f31?0.6 计算得到f4?36f0（6分）
利用其它做法得到正确答案给全分。
第29届复赛模拟赛题 第四套
10