习题课 导数的应用
明目标、知重点
会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
1．若函数y＝x－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则( ) A．b≤0 C．b≥2 答案 A
1π
2．已知y＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，则( )
33A．a＝－2 23
C．a＝
3答案 B
3．设函数g(x)＝x(x－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( ) 233
A．－1 B．0 C．－ D. 93答案 C
解析 g(x)＝x－x，由g′(x)＝3x－1＝0， 解得x1＝33
，x2＝－(舍去)． 33
3
2
2
2
B．b<2 D．b>2
B．a＝2 D．a＝0
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x g′(x) g(x) 所以当x＝3时， 30 3???0，? 3??－ ? 3 30 极小值 ?3??，1? ?3?＋ ? 1 0 0 g(x)有最小值g?
23?3?
?＝－9. ?3?
4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
- 1 -
答案 D
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件． 答案 充分不必要
解析 对于导数存在的函数f(x)，
若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，
如f(x)＝－x在R上是单调递减的， 但f′(x)≤0.
3
题型一 函数与其导函数之间的关系
例1 对正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{的前n项和的公式是________． 答案 2
n＋1
nann＋1
}－2
n－1
解析 由k＝y′|x＝2＝－2(n＋2)，得切线方程为y＋2＝－2
nnn－1
(n＋2)(x－2)，
n令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2，所以2?1－2?n＋1则数列{}的前n项和Sn＝＝2－2.
n＋11－2反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．
＝2，
n＋1
anann跟踪训练1 如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于
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T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系满足( )
12
A．y＝y′ B．y＝－y′ C．y＝y′ D．y＝y′ 答案 D
1111
解析 S△PTQ＝×y×|QT|＝，∴|QT|＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，
22yy2
2
y－02
kPQ＝＝y′∴y＝y′.故选D.
1
x－?x－?y题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例2 已知函数f(x)＝ax＋(a－1)x＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称． (1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值； (3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
解 ∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，
得－ax＋(a－1)x－48(a－2)x＋b＝－ax－(a－1)x－48(a－2)x－b， 于是2(a－1)x＋
3
2
3
2
3
2
??a－1＝0
2b＝0恒成立，∴?
?b＝0?
3
，解得a＝1，b＝0；
(2)由(1)得f(x)＝x－48x，
∴f′(x)＝3x－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－4
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，
2
f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.
小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．
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(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练2 已知函数y＝ax＋bx，当x＝1时，有极大值3. (1)求a，b的值； (2)求函数的极小值； (3)求函数在[－1,1]的最值．
解 y′＝3ax＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，
2
3
2
y|x＝1＝a＋b＝3，
?3a＋2b＝0?即???a＋b＝3
3
，a＝－6，b＝9.
2
(2)y＝－6x＋9x，y＝－18x＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1， ∴y极小值＝y|x＝0＝0.
(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x＋9x，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0. 题型三 导数的综合应用 例3 已知函数f(x)＝x－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x－a，
因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 即3x－a≥0在R上恒成立． 即a≤3x，而3x≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x－1在R上单调递增，符合题意． 所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减， 则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x， 又因为在(－1,1)上，0≤3x<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
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