第十二讲 相交线与平行线
板块一 相交线、对顶角、邻补角、垂直
相交直线：如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交。 相交线的性质：两直线相交只有一个交点。
对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 如图中，?1和?2，?3和?4是对顶角。
a 3O21对顶角的一个重要性质是：对顶角相等。 4b
邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角。
如图中，?1和?3，?1和?4，?2和?3，?2和?4互为邻补角。 a3O2 14b注意：互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂
足。
A如图所示，可以记作“AB?CD于O” 注意：
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
DCO
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短。
B
【例1】已知：如图1，直线AB、CD交于点O，且?AOD??BOC?120°，求?AOC的度数。
AOD图1BC
1
【例2】如图2，AB、CD、EF交于点O，?AOE?25°，?DOF?45°，求?AOD的对顶角和邻补角的
度数。
DAEC图2OFB
【例3】如图3，直线AB、CD交于O，OE平分?AOD，?BOC??BOD?30°，求?COE的度数。
C
AEOD图3B
【例4】如图1，已知?ACB?90°．CD?AB，垂足为D，则点A到直线CB的距离为线段 的长；
线段DB的长为点 到直线 的距离。
C
ABD
图1
【例5】如图2，在直角三角形ABC中，?C?90°，AB?c，AC?b，BC?a，则
|AC?AB|?|AB?BC|?|AC?BC?AB|? 。
A
cb
C Ba
图2
【例6】如图3，直线AB与CD相交于O，OE?CD，OF?AB， ?DOF?65°，求?AOC和?BOE 的
度数。
F DA BOC
E图3 图2
2
【例7】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）如图4，已知直线AB和CD相交于点O，
?COE是直角，OF平分?AOE。若?COF?35°，求?BOD的度数。
FE
C
B OA D图4
板块二 “三线八角”
同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第
三条直线的同旁）叫做同位角。
如图所示，?1与?5，?2与?6，?3与?7，?4与?8都是同位角。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错（即分别在第三条直线的
两旁），这样的一对角叫做内错角。
如图中，?3与?5，?4与?6都是内错角。 E B1
2 A34 65
C
D
78
F
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一
对角叫做同旁内角，如图中，?3与?6，?4与?5都是同旁内角。
E
B1
2
A34
65
C
D
78
F
【例8】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）下列图形中?1和?2是同位角的
是（ ）
11212212A．
B．
C． D．
3
2【例9】（2008年清华附中统练）如图1，
3①?1与?3是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
6②?3与?4是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 54角。 12③?2与?4是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 图1角。
④?5与?6是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角。
l2【例10】用数码标出图中与?1是同位角的所有角。
a6 2l1 51
3 4ll1l3
板块三 平行线的判定及性质
7bl3平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线之间的距离处处相等。
平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。
平行线的判定方法：⑴平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线）；
⑵平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行； ⑶垂直于同一条直线的两条直线平行；
⑷同位角相等，两条直线平行； ⑸内错角相等，两条直线平行； ⑹同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质：
⑴平行线不相交（根据定义） ⑵两条直线平行，同位角相等 ⑶两条直线平行，内错角相等
⑷两条直线平行，同旁内角互补
【例11】（北京市海淀区2009-2010学年初一第一学期期末考试）如图，AB∥CD，?B??D，请
1??2，请你完成下列填空，把解答过程补充完整。 说明?解：∵AB∥CD， AB∴?BAD??D?180°（ ）。 12∵?B??D， DC?180°?BAD?∴ （等量代换）。
∴ （同旁内角互补，两直线平行）。
1??2（ ）∴?。
4
【例12】（北京市朝阳区2009～2010学年初一第一学期期末统一考试）
填空，完成下列说理过程。
如图，DP平分∠ADC交AB于点P，∠DPC＝90°，如果 ∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由。 解：∵DP平分∠ADC， 。
A3D41∴∠3＝∠
（ ） ∵∠APB＝ °，且∠DPC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°。 又∵∠1＋∠3＝90°， ∴∠2＝∠3。（ ） ∴∠2＝∠4。
P2BC
?A?25°，【例13】（2009年湖北黄石）如图，已知直线AB∥CD， ?C?115°，求?E的度数为 度。
E
B FA CD 图3
A E 【例14】（09福建泉州丰泽）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定
EB∥AC的条件： 。
D B
B1A
【例15】如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：
①?1??2；②?3??4；③?A??DCE；④?D??DCE；
C 342CD⑤?A??ABD?180°；⑥?A??ACD?180°；⑦AB?CD能说明AC∥BD的条件有 。
E
【例16】（2009重庆綦江）如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知?1??2?60°，GM平分?HGB交直线CD于点M。则?3?（ ）
E A．60° B．65°
C．70° D．130° G 1 A B
H 2 3 M C D
F
【例17】如图，已知AD?BC于点D，EG?BC于点G，?E??1。证明：AD平分?BAC。
E A1 23
BGDC
5