2013中考数学综合题训练
1.如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。 （1） （2）
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、
PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明） （3）
为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是
多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为y?ax2,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分 所以8=a×4，解得a=
2112,故所求抛物线的函数解析式为y?x………………4分 22（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分 则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分 （3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上， 所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8 设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9 则有??2k?b?2………………10
??4k?b?8解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11 把x=0代入
y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
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两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
2.某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表： 月份x 1 2 3 4 620 5 640 6 660 7 680 8 700 9 720 价格y1(元/件) 560 580 600 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1 与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润； (3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025) 【答案】(1)y1 与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630． (2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝ p1(1000－50－30－y1)＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540) ＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418＝－2( x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数) ∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝ p2(1000－50－30－y2)＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630) ＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝( x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)， 当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． (3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），
今年原材料的价格为：750+60=810（元），今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元）， 由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，
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99±9401设t= a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴9401
20=97．
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10． 答：a的整数值为10．
3. 2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？ 【解】（1）当1≤x≤7时，设y?kx?m，
将点（1，8）、（7，26）分别代入y?kx?m，得??k?m?8,?m?5,解之，得?
?7k?m?26.?k?3.∴函数解析式为y?3x?5.当7≤x≤12时，设y?ax2?bx?c， 将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入y?ax?bx?c，得：
2?49a?7b?c?26,?a?1,??81a?9b?c?14,解之，得??b??22, ?144a?12b?c?11.?c?131.??∴函数解析式为y?x?22x?131.
（2）当1≤x≤7时，函数y?3x?5中y随x的增大而增大， ∴当x最小值?1时，y最小值?3?1?5?8.
2当7≤x≤12时，y?x?22x?131??x?11??10，
22∴当x?11时，y最小值?10.
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴x?4时的月平均价格17是前7个月的平均值.
将x?8，x?10和x?11分别代入y?x?22x?131，得y?19，y?11和y?10.
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2
∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∴年平均价格为y?17?7?19?14?11?10?1146??15.3（元/千克）.
123当x?3时，y?14?15.3，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.
4.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要
A围墙O1O2DBC留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
【答案】（1）S?x(120?2x)??2(x?30)2?1800，当x?30时，S取最大值为1800． （2）如图所示，过O1、O2分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂直，垂足如图，根据题意可知，
AEB围墙JO1IO2DHCO1E?O1F?O1J?O2G?O2H?O2I；当S取最大值时，
AB=CD=30，BC=60，
所以O1F?O1J?O2G?O2I?∴O1E?O2H?15，
∴O1O2?EH?O1E?O2H?60?15?15?30，
FG1AB?15， 2∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD和BC与两圆相切，不能留0.5米的平直路面. 5.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。
y (1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，
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0 20 40 8 000 4 000 A B C x
老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】
解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．……………………………………………………(1分)
?20k + b = 8 000
当20 < x ≤ 40时，设BC满足的函数关系式为y = kx + b，则? ．………………(2分)
?40k + b = 4 000
解得k = ?200，b = 12 000，∴y = ?200x + 12 000． ………………(4分) (2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 ? 2800)x …………(5分) =5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．…………(6分)
当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (?200x + 12 000 ? 2800)x …………(7分) = ?200(x2 ? 46x) = ?200(x ? 23)2 + 105 800．………………………………(8分) ∴当x = 23时，利润w取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分)
∵105 800 > 104 000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元．………………………………………………………(10分)
6.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)
（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x
∴S=－2(x－7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x≤11
7.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P??12．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规?x?60??41（万元）
100划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润
Q??992942?10?x???100?x??160（万元） 1005- 5 -
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？