几何最值问题
例题精讲
板块一、点到直线的距离最短
【例1】 o的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为
板块二、两点之间，线段最短
常见题型是在立体图形中求最小值，一般方法为把立体图形展开成平面图形，再根据两点间线段最短
【例2】 如图有一个圆柱体礼盒，高为10cm，底面直径为102cm，彩带从A点出发绕礼盒
侧面两周后粘贴在B出，则彩带的最短长度为
【例3】 如图，有一个长方体，它的长BC?4，宽AB?3，高BB1?5，一只小虫由A处出发，
沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是
D'C'A'B'DC
【例4】 如图所示，圆锥的母线长OA?6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕
圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为
【例5】 如图所示，有一圆锥型粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形△ABC，母线AC的
中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B点处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是
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AB
OAPABC板块三、借助对称求最值
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
B'
P'lMPNABP''
A''
MNA'AMMBNB'ANA'MdNlBAA'
B
AABBlPlP
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【例6】 如图，有一块三角形田地，AB?AC?10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，
量得?BCD的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.
【例7】 (1)如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气泵站修在什么地方，可使
所用的输气管线最短?
(2)如图1-2，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修
建一座小桥（垂直于河岸），并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使修路的费用最少？
(3)如图1-3，公园中有两处古迹P和Q，现计划在两条小河上各修建一座小桥（垂直于河岸），并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最少？ (4)如图1-4，现有一条地铁线路l，小区A和小区B在l的同侧，已知地铁站两入口C、D间的长度为a米，现设计两条路AC、BD连接入口和两小区地铁站入口C、D设计在何处，能使得 修建公路AC与BD的费用和最少？
图1-1 图1-2
图1-3 图1-4
【例8】 如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求
DN?MN的最小值与最大值．
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C
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【例9】 已知菱形ABCD的边长为5，面积为20，∠ABC为锐角，M在DC上，且DM=2，N
是AC上的动点，则DM+MN的最小值为
【例10】 如图，?AOB?45?，角内有点P且OP?3，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、
R，使得?PQR的周长的最小并求出最小值。
APOB【例11】 已知如图，在?POQ内部有两点M、N、?MOP??NOQ，
（1）画图并简要说明画法；在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小； （2）直接写出AM?AN 与BM?BN 的大小关系， OQNMP
【例12】 如图，以等腰梯形ABCD的对称轴为轴，以它的一条边所在直线为y轴，它的上下底
的中点分别是O与Q点P在x轴上从点Q出发向左运动，连接AP、PD则下列说法
正确的是
A． 点P与点Q重合时PA+PD达到最大值 B． 点P与点O重合时PA+PD达到最小值
C． 在原点左边，当∠APO=∠DPQ时，PD－PA的值最大 D． 在原点左边，当∠APO=∠DPQ时，PD－PA的值最小
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【例13】 在平面直角坐标系中点A坐标为（0，2），点B的坐标为（9，7）点P为在x轴上使
得AP+PB值最小的点，则下列说法正确的是
A．∠APO=45°， ∠BPD=60° B．直线PB的解析式为y=x+2 C．AP+PB的值为93
D．动点Q在OD上，则AQ+QB≥AP+PB
【例14】 已知两点AB在直线l的异侧，A到直线l的距离AM=10.5，B到直线l的距离BN=4.5，
MN=8，点P在直线l上运动，则PA?PB的最大（小）值为
BPMNA
【例15】 如图，在锐角?ABC中，AB?42,?BAC?45。,?BAC的 平分线交BC于点D、M、N分
别是AD和AB上的动点，则MB+MN的最小值是
CMAND
【例16】 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC,AD?DC?4,BC?8，点N在BC上，CN?2，E是AB中点，在AC上找一点M，使EM?MN的值最小，此时其最小值等于
AEBNMCDB
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