z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5．解：设z?x?iy, 则w?. ??z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?y6．解：设zImw?2y.
22(x?1)?y?eix, 则dz?ieixdx?izdx sinx?在
11(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x 112izdz?dz? ??z?1z2?4iz?1
2?z?1izz2?4iz?11只有z?(3?2)i一个一级极点 z?1内2z?4iz?1Res[f(z),(3?2)i]???i23
因此
?0dx?i??2?i??. 22?sinx233四、证明： 2. 证明：因为
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，在D内连续, 所以?(x0,y0)?D,
???0,???0.
当
x?x0??,y?y0??时有
f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]
从而有
?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??,
2122u(x,y)?u(x0,y0)??, v(x,y)?v(x0,y0)??.
y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续
即与在连续，由(x0,3.证明：由于z0是
f(z)的m阶零点，从而可设
f(z)?(z?z0)mg(z)，
其中
g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
111 ??mf(z)(z?z0)g(z)11在内D1解析，故z0为的mg(z)f(z)由
g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
阶极点.
《复变函数》考试试题（九）参考答案 一、判断题（20分）
1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空题（20分） 1、e?zi 2、z?k?,k?0,?1,?2,? 3、2? 4、1 5、1
6、m?1 7、整函数 8、c 9、8 10、e
三、计算题（30）
1、解：?2?i52?in??1,?lim()?0.
n??6662、解：
?1?i?2?3,
f(z)?1f(?)d?
2?i?C??z ?
3?2?7??1??d?.
C??z 因此
f(?)?2?i(?32??7?1) 故
f(z)?2?i(3z2?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
3、解：
ezezf(z)?2?.z?1(z?i)(z?i)Res(f(z),i)?4、解：
?ieie,Res(f(z),?i)?.22
ii
z?12?11????(z?1)(z?2)z?1z?2z(1?1)1?zz2 由于
1?z?2，从而1?z?2内
1?1,zz?1. 2 因此在
有
?z1?1n?zn1?1z???()??()???[(n)?(n) ].(z?1)(z?2)zn?0z2z2n?0n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5、解：设z?x?iy, 则w?. ??22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1 ?Rew?,(x?1)2?y26、解：设
Imw?2y.
(x?1)2?y2z2?z?2f(z)?4,则f(z)在Imz?0内有两个一级极点z1?3i,z2?i，
z?10z2?93?7i1?i,Res(f(z),i)??, 4816Res(f(z),3i)?因此，根据留数定理有
?????z2?z?23?7i1?i?dz?2?i(?)??.
z4?10z2?948166四、证明题（20分） 2、证明：设u(x,y)?a?bi，则ux?uy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此?(x,y)?D有
ux?vy?0, uy??vx?0.
于是v(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数.
f(z)的m阶零点，从而可设
3、证明：由于z0是
f(z)?(z?z0)mg(z)，
其中
g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
111 ??mf(z)(z?z0)g(z)11在内D1解析，故z0为的mg(z)f(z)由
g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
阶极点.
《复变函数》考试试题（十）参考答案
一、判断题（40分）：
1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空题（20分）：
1.
2?i 2.
z(1?z)2 3.
z??i 4. 1 5.
1
(n?1)!三、计算题（40分） 1. 解：
f(z)?z9?z2在
z?2上解析，由cauchy积分公式，有
z22z9?zdz?dz?2?i??z?2(9?z2)(z?i)?z?2z?i9?z2?z??i?5
2. 解：设
eizf(z)?1?z2ne?ii，有Res(f,?i)??e
?2i2n2??n??n?1?i??1?i???(cos?isin)?(cos?isin) 3. 解：????4444?2??2?
?cos，
n?n?n?n?n??isin?cos?isin?2cos44444
4. 解：
?u2x?2?xx?y2(x,y)?u2y?2?yx?y2v(x,y)????y(0,0)?uydx?uxdy?c??(x,y)(0,0)?2y2xdx?dy?c
2222x?yx?y
0y2x?2arctan?c dy?c22xx?yf(1?i)?u(1,1)?iv(1,1)?ln2?i(2arctan1?c)?ln2
故c???2，v(x,y)?2arctany?? x2
《复变函数》考试试题（十一）参考答案
一、1．× 2．√ ３．× ４．√ ５．√ 二、1． 1 2．
11 ４．u? 222k???2k???4?isin)５．zk?a(cos44? ３．u?(k?0,1,2,3)
1６．
39.
７．
2n2??1
８．15
?(a) 10. ?m
??(a)?ux?2,2?xx?y?uy?2?yx?y2
三、1．解：
v(x,y)??????(x,y)(0,0)?uydx?uxdy?C
yxdx?dy?C
x2?y2x2?y2(x,y)
(0,0)?y
0xydy?C?arctan?C.
22x?yx又
f(1?i)?u(1,1)?iv(1, 1
11ln2?i(arctan1?C)?ln2. 22?y?,v(x,y)?arctan?. 故C??4x4?2.解: (1)
sin2ztanz?cos2z2奇点为
1z?(2k?)?,2k?0,?1?对任意整数k,
1z?(2k?)?2为二阶极点,
z??为本性奇点.
(k?0,?1?)
(2) 奇点为0z?1,zk?2k?i,z?1为本性奇点,对任意整数k,zk为一级极点,z??为本性奇点.
3. (1)解:
z19f(z)?2(z?1)4(z4?2)3共有六个有限奇点, 且均在内
C:z?4,
由留数定理,有
?z?4f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]
将
f在
z??的去心邻域内作Laurent展开
z1912z8(1?2)4?z12(1?4)3zzf(z)?
11??z(1?1)4(1?2)3z2z414106z4?(1?2?4??)(1?4?8??) zzzzz14??3??zz所以Res(f,?)??C?1??1