2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
x( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000 x( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000 x( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000 x( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000 x( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000 x( 53)=5.30000000,y( 53)=28.09000000 x( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000 x( 55)=5.50000000,y( 55)=30.25000000 x( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000 x( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000 x( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000 x( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000 x( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000 x( 61)=6.10000000,y( 61)=37.21000000 x( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000 x( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000 x( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000 x( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000 x( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000 x( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000 x( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000 x( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000 x( 70)=7.00000000,y( 70)=49.00000000 x( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000 x( 72)=7.20000000,y( 72)=51.84000000 x( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000 x( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000 x( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000 x( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000 x( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000 x( 78)=7.80000000,y( 78)=60.84000000 x( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000 x( 80)=8.00000000,y( 80)=64.00000000 x( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000 x( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000 x( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000 x( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000 x( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000 x( 86)=8.60000000,y( 86)=73.96000000 x( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000 x( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000 x( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000 x( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000 x( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000 x( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000 x( 93)=9.30000000,y( 93)=86.49000000 x( 94)=9.40000000,y( 94)=88.36000000 x( 95)=9.50000000,y( 95)=90.25000000 x( 96)=9.60000000,y( 96)=92.16000000 x( 97)=9.70000000,y( 97)=94.09000000 x( 98)=9.80000000,y( 98)=96.04000000 x( 99)=9.90000000,y( 99)=98.01000000 x(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000
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第七章 线性方程组的迭代解法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。 1证明：迭代格式错误！未找到引用源。x(k?1)?Bx(k)?f收敛，其中
?0.90??1?B??,f???。（迭代法收敛性判断） ??0.30.8??2?解：
?I?B???0.9?0.30?(??0.9)(??0.8)
??0.8因?(B)?0.9?1，故迭代收敛。
?a11x1?a12x2?b12若用雅可比迭代法求解方程组?(a11a22?0)迭代收敛的充要条件是
ax?ax?b2222?211a12a21?1。（雅可比迭代法的收敛性）
a11a22解：原线性方程组的等价方程组为
a12b1?x?x?12??a11a11 ?ab221?x1?x2??a22?a22其雅可比迭代式为
x(k?1)??0????a21??a22?a12??b1?a11?(k)?a11??x???
?b2?0?????a22??????I?B???a21??a22a12?aaa11????2?1221
a11a22????a12a21aa?1，即1221?1。
a11a22a11a22其收敛的充要条件是?(B)?3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组
?x1?2x2?3 ?3x?2x?42?1
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是否收敛？为什么？若将方程组改变成为
?3x1?2x2?4 ??x1?2x2?3再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性） 解：雅可比迭代式为
?0?2??3??x(k)??? x??30????2??2??2?I?BJ?3???2?3
2(k?1)其?(BJ)?3?1，故雅可比迭代发散。 高斯-塞德尔迭代式为
x(k?1)?0?2?(k)?3???x??5? ?3?????0?2?2???(??3) 0??3?I?BG?其?(BG)?3?1，故高斯-塞德尔迭代发散。
24?x?x???3x1?2x2?4?1323对于线性方程组?，即?，其雅可比迭代为
13x?2x?32?1?x?x?12?2?2x(k?1)??0??1???2132??4??????(k)3x?3，?I?B???3?J1??0?2??2??1，故雅可比迭代收敛。
23??2?1
3?其?(BJ)?x(k?1)?1??1??20??1???I?BG2???4??1?4?2?0??10?????3?x(k)??3? ?0?3?x(k)??1??3?，x(k?1)???5?1?31??0??0??0????2????3??2???6?2?3??(??1) ?130??3?1 33
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其?(BG)?1?1，故高斯-塞德尔迭代收敛。 3?410???4证明解线性方程组Ax?b的雅可比迭代收敛，其中A?121。（雅可比迭代收敛????011??性判断） 解：雅可比迭代为
?1?4?f????????1??4?1???b，B??2??1?????????0?10?0????11????10?1??????22??1???0?10???0?????140?1?0?1??? 2?0????x(k?1)?Bx(k)?f，?I?B?12014015??(?2?) 28?1?其?(B)?5?1，故雅可比迭代收敛。 85已知方程组Ax?b，其中A???12??1?，b??2? ?0.31????(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式x(k?1)试确定?的取值范围，使该迭代公式收敛。?x(k)??(Ax(k)?b)，
（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 解：雅可比迭代式为
x(k?1)?0?2?(k)?1????x??2? ?0.30?????I?BJ?其?(BJ)??20.3???2?0.6
0.6?1，故雅可比迭代收敛。
高斯-塞德尔迭代式为
?0x(k?1)???0
?2?(k)?1?x??? ?0.6??1.7?34
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?I?BG??2??(??0.6)
0??0.6其?(BG)?0.6?1，故高斯-塞德尔迭代收敛。 对于以下迭代式
x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)?(I??A)x(k)??b
?I?A??2?(??1?0.6)(??1?0.6)
?0.3??1??1故I??A的特征值为1??(1?0.6)，1??(1?0.6)。 当?5(1?0.6)???0时，有?(I??A)?1，从而迭代收敛。 6给出矩阵A????1a??，（为实数），试分别求出的取值范围： ??2a1?(1) 使得用雅可比迭代法解方程组Ax?b时收敛；
(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax?b时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论） 解：雅可比迭代为
?0x(k?1)????2????(k)x?b 0???I?BJ?当??????2?2?2
2??12时，?(BJ)??2?1，使雅可比迭代收敛。
高斯-塞德尔迭代为
0??0???(k)?1x(k?1)??x?b ??2??02????2?1??I?BG?仍然是当????20??2?12??(??2?2)
时，?(BG)?2?2?1，使高斯-塞德尔迭代收敛。
7设A??
?21??1?， b?????12??2?35