考点巩固训练28 等比数列及其前n项和
一、选择题
1
1．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为( )．
8
11
A．2 B．－ C．－2 D． 22
a202．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝( )．
a10
A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3
3．等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0，且q＞1”是“对于任意正整数n，都有an＋1＞an”的( )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，?，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1
＋log2a3＋?＋log2a2n－1等于( )．
A． n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )． A．80 B．30 C．26 D．16
6．在等比数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于( )．
＋
A．2n1－2 B．3n C．2n D．3n－1
14
7．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋mn
的最小值为( )．
359A. B. C. D．不存在 234二、填空题
8．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为__________．
1
9．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满a2
1
足bn＜的最小自然数n是__________．
a80
10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，b＝3，则△ABC的面积是__________．
三、解答题
11．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
12．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)． (1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式； (2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；
(3)当{bn}是公比为q－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
a41．C 解析：选C.由＝q3＝－8?q＝－2，故选C.
a1
2．A 解析：由a2a6＝16，得a24， 4＝16?a4＝±
4
又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q)＝8， ∵q4＞0，∴a4＝4.
a20∴q2＝1，＝q10＝1.
a10
an＋1
3．A 解析：易知，当a1＞0且q＞1时，an＞0，所以＝q＞1，表明an＋1＞an；
an
若对任意自然数n，都有an＋1＞an成立， 当an＞0时，同除an得q＞1， 但当an＜0时，同除an得q＜1.
2
4．C 解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得an＝22n，∵an＞0，∴an＝2n. 易得结论．
5．B 解析：设S2n＝a，S4n＝b，
由等比数列的性质知：2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2， 所以b＝S4n＝30.
－
6．C 解析：∵数列{an}为等比数列，设其公比为q，则an＝2qn1， ∵数列{an＋1}也是等比数列， ∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)． ∴a2n＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2. ∴an＋an＋2＝2an＋1.
∴an(1＋q2－2q)＝0，得q＝1，即an＝2. ∴Sn＝2n.
7． A 解析：因为a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0，q＝2或q＝－1(舍去)．
＋－
又aman＝a12qmn2＝4a1， 所以m＋n＝6. 14114?＋(m＋n) 则＋＝?mn6?mn?n4m131＋＋＋4?≥. ＝?mn?26?n4m
当且仅当＝，即n＝2m时，等号成立．
mn
此时m＝2，n＝4. 选A.
二、填空题
8．3 解析：由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，
a4∴a4＝3a3.∴q＝＝3.
a3
1
9．7 解析：{an}为等差数列，a1＝1，a7＝4，6d＝3，d＝，
2
n＋121∴an＝，∵{bn}为等比数列，b2＝2，b3＝，q＝.
2331?n－112
∴bn＝6×?，b＜＝. n
?3?a80812－
∴81＜，即3n2＞81＝34.
1?n－16×??3?
∴n＞6，从而可得nmin＝7. 3310. 解析：因为△ABC的内角A，B，C成等差数列，
4
π
所以A＋C＝2B，B＝. 3
又因为三边a，b，c成等比数列，b＝3. 所以ac＝b2＝3.
13333
于是S△ABC＝acsin B＝×＝. 2224
三、解答题
11．解：(1)由题设知公差d≠0.
1＋2d1＋8d
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得＝，解得d＝1，或d＝0(舍去)．
11＋2d
所以{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
n
＋n23n2(1－2)(2)由(1)知2an＝2，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋2＋2＋?＋2＝＝2n1
1－2
－2.
12．解：(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a， ∴an＝1＋(n－1)(a－1)． 又∵b3＝12，
∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12.
5
解得a＝2或a＝－.
6
∵a＞0，∴a＝2. ∴an＝n.
(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，
－
∴an＝an1.
－
∴bn＝anan＋1＝a2n1. bn＋12∵＝a， bn
∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列． 当a＝1时，Sn＝n；
＋
a(a2n－1)a2n1－a
当a≠1时，Sn＝2＝2.
a－1a－1
(3)数列{an}不能为等比数列． ∵bn＝anan＋1，
bn＋1an＋1an＋2an＋2∴＝＝. bnananan＋1an＋2则＝a－1.∴a3＝a－1. an
假设数列{an}能为等比数列． 由a1＝1，a2＝a，得a3＝a2. ∴a2＝a－1， ∵此方程无解，
∴数列{an}一定不能为等比数列．