分类计数原理与分步计数原理（1）
§10.1.1 分类计数原理与分步计数原理（1）
◆教学目标
（一）教学知识点 1.分类计数原理. 2.分步计数原理. （二）能力训练要求
1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容. 2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题. 3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用. 4.提高分析问题、解决问题的能力. （三）德育渗透目标
要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.
◆ 教学重点
分类计数原理与分步计数原理.
◆ 教学难点
正确运用分类计数原理与分步计数原理.
◆ 教学方法
启发引导式
在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.其一，认识到理解分类计数原理的关键是分类标准的确定，然后在确定的标准下分类，而完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.其二，分步计数原理应根据问题的特点先确定一个分步的标准，还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成.
◆教学准备
多媒体课件
◆教学过程
Ⅰ.课题导入
从引言部分大家了解到，排列组合是完成某项工作的方法种数的知识，在实际生产生活中有着十分广泛的应用，而学习排列组合知识，首先要熟悉分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是指导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题
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的始终.
下面，我们将通过实例给出两个基本原理，并结合实例进一步熟悉两个原理.
Ⅱ.讲授新课
首先，我们来看问题一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
图示：
分析：要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法，如图所示.
在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）
分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
N = m1 + m2 + ? + mn
种不同的方法.
对于分类计数原理，我们应注意以下几点.
（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；
（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；
（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.
接下来，我们再看问题二：
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析：问题二与问题一同是研究从甲地到乙地的不同走法，但是，我们要注意找出这两个问题的不同之处。在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地.而在这个问题中，必须经过先乘火车，后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地.要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火
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车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.
从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：
所有走法
火车1——汽车1；火车1——汽车2；火车2——汽车1；火车2——汽车2； 火车3——汽车1；火车3——汽车2
［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.（板书原理内容）
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N = m1×m2×?×mn
种不同的方法.
对于分步计数原理，我们还应注意以下几点.
（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；
（2）分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；
（3）分步时，还要注意满足完成一件事，必须并且只需连续完成n个步骤后，这件事才算完成.
下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.
［例1］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？
分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑.
解：分两大类：
（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有： 30×29×20=17400种结果；
（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果， 因此共有不同结果17400+11400=28800种.
小结：大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.
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［例2］4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
分析：分三步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为0，且正反两面可用. 解：分三个步骤：
第一步：首位可放8－1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数. 根据分步计数原理，可以组成 N=7×6×4=168个数.
小结：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计分步程序.
Ⅲ.课堂练习 课本P86练习： 1.解：（1）分两类：
第一类：从5人中选1人，有5种选法； 第二类：从4人中选1人，有4种选法；
根据分类计数原理，共有不同选法：N = 5 + 4 = 9 种. （2）分两步：
第一步：从A村去B村，有3种走法； 第二步：从B村去C村，有2种走法；
根据分步计数原理，共有不同走法：N=3×2=6种. 2.解：（1）分三类：
第一类：从高一学生中选，有3种选法； 第二类：从高二学生中选，有5种选法； 第三类：从高三学生中选，有4种选法. 根据分类计数原理，共有：N = 3 + 5 + 4 = 12种. （2）分三步：
第一步：从高一学生中选，有3种选法； 第二步：从高二学生中选，有5种选法； 第三步：从高三学生中选，有4种选法. 根据分步计数原理，共有： N=3×5×4=60种. 3.解：分三步：
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第一步：从第一个括号中选，有3种选法； 第二步：从第二个括号中选，有4种选法； 第三步：从第三个括号中选，有5种选法；
根据分步计数原理，共有：N = 3 × 4 × 5 = 6 0 种不同项. Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家正确理解分类计数原理与分步计数原理，并能正确运用两个基本原理分析、解决生产、生活中的实际应用.
Ⅴ.课后作业 （一）课本习题10.1 1.解：分两类：
第一类：选本地产品有4种选法； 第二类：选外地产品有7种选法；
根据分类计数原理有：N = 4 + 7 = 11 种选法. 2.解：分两大类：
第一大类：由甲地经乙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到乙有2种走法； 第二步：由乙到丁有3种走法；
由分步计数原理，第一类共有2×3=6种走法；
第二大类：由甲地经丙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到丙有4种走法； 第二步：由丙到丁有2种走法； 由分步计数原理，第二类共有 4×2=8种走法；
再根据分类计数原理，从甲到丁共有： N=6+8=14种不同走法. 3.解：构造分数分两步：
第一步：分子从1，5，9，13中选取，有4种选法； 第二步：从4，8，12，16中选分母，有4种选法. 由分步计数原理，有不同分数N=4×4=16种. 构造真分数分四类：
第一类：1作分子，分母有4种选法； 第二类：5作分子，分母有3种选法； 第三类：9作分子，分母有2种选法； 第四类：13作分子，分母有1种选法. 由分类计数原理，共有
N = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 个不同真分数. （二）1.预习课本P85例1～例3.
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2.预习题纲：
（1）熟悉基本原理应用；
（2）各例题中分类或分步的标准是什么？ ◆板书设计
§10.1.1 分类计数原理与分步计数原理 1.分类计数原理: 2.分步计数原理： 完成一件事分n步： 第1步：有m1种不同方法； 第2步：有m2种不同方法； ?? 第n步：有mn种不同方法. 则完成这件事，共有 N=m1×m2×?×mn 种不同方法. 完成一件事有n类办法： 第1类：有m1种不同方法； 第2类：有m2种不同方法； ?? 第n类：有mn种不同方法； 则完成这件事，共有 N=m1+m2+?+mn 种不同方法. 3.例题解析： 例1 例2 解答过程 解答过程
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