第13练 必考题型——导数与单调性
[题型分析·高考展望] 利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.
体验高考
1.(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是( ) 1?1A.f??k?＜k 11C.f?k－1?＜??k－1 答案 C
解析 由已知条件，构造函数g(x)＝f(x)－kx，
11则g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函数g(x)在R上单调递增，且＞0，故g()＞g(0)，
k－1k－11k11
所以f()－＞－1，f()＞，
k－1k－1k－1k－1所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断； 构造函数h(x)＝f(x)－x，
1
则h′(x)＝f′(x)－1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且＞0，
k
11111
所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，选项A，B无法判断，故选C.
kkkkk
2.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 答案 A
xf′?x?－f?x?f?x?
解析 记函数g(x)＝，则g(x)＝，
xx2
1?1
B.f?＞?k?k－1 1kD.f?k－1?＞??k－1
因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0， 故当x＞0时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(0，＋∞)单调递减； 又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数， 故函数g(x)是偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0. 当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0； 当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0.
综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. 3.(2016·浙江)设函数f(x)＝x3＋(1)f(x)≥1－x＋x2； 33(2)＜f(x)≤. 42
1－?－x?41－x4证明 (1)因为1－x＋x－x＝＝，
1－?－x?1＋x
2
3
1
，x∈[0，1].证明： 1＋x
1－x41
由于x∈[0，1]，有≤，
1＋xx＋11
即1－x＋x2－x3≤，
x＋1所以f(x)≥1－x＋x2. (2)由0≤x≤1得x3≤x， 11
故f(x)＝x3＋≤x＋
x＋1x＋1
133?x－1??2x＋1?33
＝x＋－＋＝＋≤，
22x＋1222?x＋1?3
所以f(x)≤.
2
133x－?2＋≥， 由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝??2?44