数。?kk子类的权，则称?jk??fjk?xij???kj为对象i关于k灰类的灰色变j为j指标权聚类系数。
定义2.2.8 （1）称
?i???,?,?,?1i2isi?mm?m1?122ss???fj?xij???j,?fj?xij???j,?,?fj?xij???j? 为对象i的
j?1j?i?j?1?聚类系数向量。
（2）称???ik??1??1?12??1s??12s?????22???2 为聚类系数矩阵。 ??????12s??????nnn?????ik???ik，则称对象i属于灰类k?。 定义2.2.9 设max?1?k?s灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当聚类指标的意义、量纲不同，并且不同指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类。
2.3灰色定权聚类
当聚类指标的意义、量纲不同且在数量上悬殊较大时，采用灰色变权聚类可能导致某些指标参与聚类的作用十分微弱。解决这一问题有两种途径：一条途径是先采用初值化算子或均值划算子将各个指标样本值化为无量纲数据，然后进行聚类。这种方式对所有聚类指标一视同仁，不能反映不同指标在聚类过程中的差异性。另一条途径是对各聚类指标事先赋权。
定义2.3.1 设xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?为对象i关于指标j的观测值，
fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?为j指标k子类白化权函数。若j指标k子类的权
kkk与无关，即对任意的总有???kj?1,2,?,m;k?1,2,?,s???kk?1,2,?,sjj??j 1,2i2此时可将?的上标k去掉，记为并称???fjk?xij???j为对象i?j?j?1,2,?,m?，
kjkjj?1m属于k灰类的的灰色定权聚类系数。
定义2.3.2 设xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?为对象i关于指标j的观测值，
fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?为j指标k子类白化权函数。若对任意的
m11kj?1,2,?,m总有?j?,则称?j??fjk?xij???j?fjk?xij?为对象i属于k灰类
mmj?1的灰色等权聚类系数，
定义2.3.3 （1）根据灰色定权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色定权聚类；
（2）根据灰色等权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色等权聚类。 灰色定权聚类可按下列步骤进行：
第1步 给出j指标k子类白化权函数fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?。 第2步 确定各指标的聚类权?j?1,2,?,m?。
第3步 从第1步和第2步得到的白化权函数fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?，聚类权?j?j?1,2,?,m?以及对象i关于指标j的观测值xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?，计算出灰色定权聚类系数???fjk?xij???j?i?1,2,?,n;k?1,2,?,s?。
kjj?1m?ik???ik，则断定对象i属于灰类k? 第4步 若max??1?k?s依照上面定义的计算方法， 即为一般的灰色聚类方法。 其中， 当指标子类的权?kj与k有关时，称为变权灰色聚类方法；反之，称为灰色定权聚类系数
3 灰色聚类方法的应用情况
灰色聚类这种方法应用十分广泛，社会生产实践当中发挥着重要的作用。下面是灰色聚类方法的应用举例。
（1）比如船舶应急疏散顺序【9】，根据本文2.2中的灰色白化权聚类方法，由
max?ik??ik，判断对象i属于灰类k?。这时应用这种方法得到表3-1：
1?k?s
???表5 在港船舶聚类结果
疏散优
泊位编号
先等级
高优
先等级
较高
A油1、11、14、17、60、61B
优先等级
16、54A、54B
一般优
24、56B、57B、58B、61A、63A
先等级
26、34、35、56A、57A、62A
较低
13、15、31、36、37、38、62B
优先等级
低优
先等级
它作为解决类似问题的一种尝试，尚有一些不足之处。在对船舶疏散顺序影响因素的认识和理解程度上有待进一步深入，应急疏散顺序指标体系尚待进一步完善。
（2）在汽车维修质量评价中【10】，灰色聚类分析作为一种综合评价车辆维修质量的新方法，在应用过程中可针对具体的系统确定各自的聚类指标和分级标准，还可以根据评价目的的要求确定灰类。同时，还可以发现灰色聚类法不需要临界判据，只要根据车辆维修质量的级别就可获得评价结果，因而避免了人的主观随意性，结果更符合实际情况。灰类划分如表3-2：
表6 灰类划分
灰类 可靠性 1差 0.35 2一般 0.775 3较好 0.9 4好 1
（3）在水环境质量评估中【11】，灰色聚类关联法也是一种加权的宽域聚类法，信息利用率高，因而也能区分多测点环境质量的优劣，区分方法为：级别不同者，则级别越低，环境质量越好；级别相同者，则再比较其次高级别，次高级别越低，质量越好，依次类推，如果最后一个级别仍相同，则再比较与第2，3级的关联度，关联度越大，则质量越好。
夏志勇，林聃，和何林在企业自主创新能力评价【12-13】中认为大企业是国家自主创新的重要生力军，是国家经济实力的基础和依托，他们用基于灰色白化权函数定权聚类法构建了大企业自主创新能力的评价模型，对其自主创新能力进行了实证测度。牛会永应用灰色理论对大企业城市道路交通进行安全评价【14】，文中指出影响城市道路交通安全的指标很多，在综合分析国内外道路交通安全评价方法的基础上，建立了城市道路交通安全的灰色评价方法。应用灰色聚类方法对道路交通安全的3项指标进行归纳和计算，从而判断各城市所属的灰类，更合理地评价各城市的交通安全状况。应用该方法，对城市道路交通安全状况进行了事后灰色综合评价，取得较为满意的效果。还有物流中心选址【15】以及在图像处理方面的应用
【20】
动力性 0.35 0.775 0.9 1 指标 经济性 0.35 0.775 0.9 1 车容 0.35 0.775 0.9 1 噪声 0.35 0.775 0.9 1
。
4灰色聚类方法的现状和改进措施
4.1灰色聚类方法的现状
灰色聚类评估方法是灰色理论技术家族中最早发展并得以广泛应用的一门技术，它与灰色系统分析、灰色建模、灰色预测、灰色决策、灰色控制、灰色优化一起构成了较为成熟的灰色理论技术体系。常见的灰色聚类方法有灰关联聚类、邓聚龙教授的灰色变权聚类方法、刘思峰教授的定权灰色聚类方法基于三角白化权函数的灰色聚类方法等等【16-17】。以上几种方法从不同的方面对灰色类进行了研究， 且都是在灰色聚类系数向量分量的最大原则的基础上依据具体算法给出聚类结果的，在实际应用中，后三种聚类方法备受科研人员的喜爱。
4.2灰色聚类方法的改进措施
一般的灰色聚类方法即指后三种方法。实际应用中，往往遭遇灰色聚类系数无显著性差异的情况，这时上面几种方法就不能判断聚类对象属于何种灰类。党耀国等人提出了聚类系数无差异条件下的一种综合灰色聚类方法，从数学分析的角度出发，给出权重的定义，附议统计学的合理解释，提出一种改进的灰色聚类评估方法【18】。
当聚类系数表现出无显著性差异这一统计性质时，一般的灰色聚类方法是不能对其进行计算分析的。党耀国、李思峰等给出的方法是借助等距加权的数学函数对归一化后的聚类系数向量进行计算并分门别列的。一般的灰色聚类提出的方法要么无需考虑灰度的权重。本文从研究灰度权重的角度出发，给出了灰度权重的数学定义以及计算公式，从而得到了改进的灰色聚类过程【19-20】。其计算步骤如下：
（1） 按照一般的灰色聚类方法进行计算，得到灰色聚类系数矩阵； （2） 将灰色聚类系数矩阵?归一化，得到归一化灰色聚类系数矩阵?； （3） 求出矩阵?列向量极差R?k?,k?1,2,?s，根据公式
?k?R?k??R?k?k?1s,k?1,?,s算出所有的灰类权重?k,k?1,2,?s；
（4） 利用下面给出的公式计算得出新的灰色聚类系数矩阵N：
N???diag??1,?2?,?s?
（5） 对新的灰色聚类系数矩阵进行行向量去打运算，从而得出聚类结果。
k??该步骤与下面的定义中给出的操作运算相同：设max?kjj，称
1?k?s???对象i属于灰类k?。
5 总结
本文详细的叙述了灰色聚类方法的研究背景、基本内容和其现状，并列举了具体的实例，这种方法应用十分广泛，在社会生产实践当中发挥着重要的作用。当然也存在着不足，文中提出了一种聚类系数无显著性差异条件下的改进灰色聚类方法，这种方法结合数学分析、统计学的知识提出了灰度权重的计算方法，值得推广，不过还是需要不断实践，来不断完善灰色聚类方法。
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