121C3C2C24C722C3C24C7P {X=1, Y=2 }=?6 35P {X=2, Y=0 }=?3 35?12 35P {X=2, Y=1 }=
211C3C2C24C722C3C24C731C3C24C731C3C24C7P {X=2, Y=2 }=?3 352 352 35P {X=3, Y=0 }=?P {X=3, Y=1 }=?P {X=3, Y=2 }=0
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=
??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中
GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127(6?x?y)dy? 28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y
（2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）
X 2 Y 0 1 1 0 25536 36 o 1 5136 36 边缘分布律为 X 0
1
Y
0
Pi2
5
166
P2j
56
② 不放回抽样（第1题）
X Y 0 1 0 45 106666 1
10166 66 边缘分布为 X
0
1
Y
0
Pi2
5
1566
P2j
6
（2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 1 2 3
0 0 338 8 0 3 1 0 0 188 解： X的边缘分布律
Y的边缘分布律 X 0 1
2
3 Y 1 3
Pi2
1 3 3 1 68888 P2j 8
28
7．． 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
x+y=4 x
1
16
1
16
??4.8y(2?x)f(x,y)????0解：fX(x)?0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.
??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它
fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?08.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?y??e,0?x?yf(x,y)??求边缘概率密度。
??0,其它.y x=y 解:fX(x)?????????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)????????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye?y,y?0,0,y?0,o
x 22?cxy,x?y?1?10．[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=
??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421ydy?c?c? 3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?Y~fY(y)????y4dydx?2y?0?0?y?1 其它o y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =
25 36
P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=
5 365 361 3610945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
P {X=0}2P {Y=0} =
∴ X和Y不独立
16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y
?1y?e2,y?0的概率密度为fY(y)??2
?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)??
??0,其它Y的概率密度为
y y=x2 D o 1 x ?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立，
?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为
y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0
其它
（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0
2 即：Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
22
P(Y?X2)???f(x,y)dxdy??dx?D01x20?1x21?1?2edy???dx?de2?1??e2dx
0002yyx2?1?2??e?2?010?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)
?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.144523． 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
?t??te,f(t)????0t?0t?0
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。