第二章 力系的简化
2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为 ，对z轴的矩的大小为 。
答：F/2；62F/5。
2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩Mx(F)= 。
答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ）
图2－40 图2－41
2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为 ，对x轴的矩为 。 答：－60N；320N.m
2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为：
Mx（F）= ；MY（F）= ；Mz（F）= 。 答：Mx（F）=0，My（F）=－Fa/2；Mz（F）=6Fa/4
2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为 ；对z轴的矩为 。 答：Mx（F）=160 N·cm；Mz（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43
2-6．试求图示中力F对O点的矩。
解：a: MO(F)=Flsinα
b: MO(F)=Flsinα
c: MO(F)=F(l1+l3)sinα+ Fl2cosα
d: Mo?F??Fsin?22l1?l2
2-7．图示力F=1000N，求对于z轴的力矩Mz。
题2－7图 题2－8图
2-8．在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30N·m。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O点简化
RX=F2－F1=30N RV=－F3=－40N ∴R=50N
主矩：Mo=（F1+F2+F3）·3+M=300N·m 合力的作用线至O点的矩离 d=Mo/R=6m
合力的方向：cos（R，i）=0.6，cos（R，i）=－0.8
（R，i）=－53°08’ （R，i）=143°08’
2-9．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力R、R?,R=R?=502KN；α=1m。试求该力系向C点简化结果。
解：主矢：R=ΣFi=0
主矩： Mc=M+m（R，R?）
又由Mcx=－m（R，R?）·cos45°=－50KN·m McY=0
Mcz=M－m（R，R?）·sin45°=0 ∴Mc的大小为
Mc=（Mcx2+McY2+Mcz2）1/2 =50KN·m
Mc方向：
'Cos（Mc，i）=cosα=Mcx/Mc=－1， α=180° Cos（Mc，j）=cosβ=McY/Mc=0， β=90° Cos（Mc，k）=cosγ=McZ/Mc=0， γ=90° 即Mc沿X轴负向
题2－9图 题2－10图
2-10．一个力系如图示，已知：F1=F2=F3，M=F·a，OA=OD=OE=a，OB=OC=2a。试求此力系的简化结果。
解：向O点简化，主矢R?投影
Rx?=－F·
12
RY?=－F·
1212
RZ?=F·2
R?=－F·
i－F·
12j+F·2j
主矩Mo的投影： Mox=
Mo?=
12123Fa，MoY=0，Moz=0 3Fai
12R?·Mo=－
3aF2≠0，R?不垂直Mo
所以简化后的结果为力螺旋。
2-11．沿长方体的不相交且不平行的棱边作用三个大小相等的力，问边长a，b，c满足什么条件，这力系才能简化为一个力。
解：向O点简化 R?投影：Rx?=P，RY?=P，Rz?=P
R?=Pi+Pj+Pj
主矩Mo投影：Mox=bP－cP，MoY=－aP，Moz=0
Mo=（bP－cP）i－aPj
仅当R?·Mo=0时才合成为力。 （Pi+Pj+Pk）[（bP－cP）i－apj=0 应有 P（bP－cP）=0，PaP=0， 所以 b=c，a=0
2-12．曲杆OABCD的OB段与Y轴重合，BC段与X轴平行，CD段与Z轴平行，已知：P1=50N，P2=50N；P3=100N，P4=100N，L1=100mm，L2=75mm。试求以B点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式，并确定其位置。
图2－49
解：向B简化
Rx?=50N RY?=0 RZ?=50N R?=502
R?方向： cosα=
1212 cosβ=0 cosγ=
主矩MB MxB=2.5·m MYB=mzB=0 MB=2.5N·m 主矩方向 cosα=1 cosβ=0 cosγ=0 MMnB=1.76N·m MiB=1.76N·m d=MB/R?=0.025m
2-13．结构如图所示，求支座B的约束力。
B不垂直R?
题2－13图
(a) F?3P (b) F?32P (c) FB?1.82P
BB22
2-14．图示曲柄摇杆机构，在摇杆的B端作用一水平阻力R，已知：OC=r，AB=L，各部分自重及摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC水平）保持平衡，试求在曲柄
OC上所施加的力偶的力偶矩M。
图2－51
解：一）取OC ΣMo（F）=0
Nsin45°·r－M=0，N=M/（r sin45°） 取AB ΣmA（F）=0
RLsin45°－N?2rsin45°=0，N?=
121414RL/r M=2RL 2LR/r
二）取OC ΣX=0 Xo－Ncos45°=0，Xo=ΣY=0 Yo+Nsin45°=0，Yo=－
142LR/r
取AB ΣX=0 XA+N’cos45°－R=0， XA=（1－
142L/r）R
14ΣY=0 YA－N’sin45°=0，YA=
2RL/r