2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟
第I卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i是虚数单位，复数z=7?i= 3?i（A）2?i （Ｂ）2?i （Ｃ）?2?i （Ｄ）?2?i １．B
【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】z=7?i(7?i)(3?i)21?7i?3i?1===2?i 3?i(3?i)(3?i)10（２）设??R，则“?=0”是“f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.
【解析】∵?=0?f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数，反之不成立，∴“?=0”是“f(x)=cos(x+?)(x?R)为偶函数”的充分而不必要条件. （３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为?25时，输出x的（A）?1 （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 3．C
【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行【解析】根据图给的算法程序可知：第一次x=4，第二次x=1，则输出x=2?1+1=3.
（4）函数f(x)=2+x?2在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 4．B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在以及作图与用图的数学能力.
3【解析】解法1：因为f(0)=1+0?2=?1，f(1)=2+2?2=8，即f(0)?f(1)<0x3值为
运算.
定理
且函数f(x)在(0,1)内连续不
断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
解法2：设y1=2x，y2=2?x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
- 1 -
425102 2（5）在(2x?415)的二项展开式中，x的系数为 x（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40 5．D 6【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数. rr10-3r【解析】∵Tr+1=C5(2x2)5-r?(?x?1)r=25-r(?1)rC5x，∴10?3r=1，即r=3，∴x的系数为?40. 8（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC= （A）
77724 （Ｂ）? （Ｃ）? （Ｄ）
252525256．A
【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.
n=5sBin【解析】∵8b=5c，由正弦定理得8sinB=5sinC，又∵C=2B，∴8siB，所以
47=10BsinBcsinB?0，∴cosB=，cosC=cos2B=2cos2B?1=. ，易知
525????????????????????????3??R，（7）已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=?AB，AQ=(1??)AC，若BQ?CP=?，
2则?= 8siBn（A）
11?101?2?3?22 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 22227．A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.
????????????????????????????????????????【解析】∵BQ=AQ?AB=(1??)AC?AB，CP=AP?AC=?AB?AC，
????????????????????????????????????????30BQ?C=?P又∵，且|AB|=A|C，|=60，AB?AC=|AB?||AC|cos600=2，∴
2????????????????????2????????????2332[(?1?AC)?A?B]?(AB?AC)，=?|AB|+(????1)AB?AC+(1??)|AC|=，所以
22314?+2(?2???1)+4(1??)=，解得?=.
22
- 2 -
BPCQA
（8）设m，n?R，若直线(m?1)x+(n?1)y?2=0与圆(x?1)2+(y?1)2=1相切，则m+n的取值范围是 （A）[1?3,1+3] （Ｂ）(??,1?3]?[1+3,+?) （Ｃ）[2?22,2+22] （Ｄ）(??,2?22]?[2+22,+?)
8．D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
n?1)y?【解析】∵直线(m?1)x+(2=0圆(x?1)2+(y?1)2=1相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为与
m?n2)，设t=m?n， 2d=则
|(m?1)+(n?1)?2|(m?1)2+(n?1)2=1，所以mn?m?n?1?(12t?t+1，解得t?(??,2?22]?[2+22,+?). 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 9．18，9
【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取
15075?30=18，中学中抽取?30=9. 2502503
（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m.
10．18+9?
【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：
- 3 -
43V=3?6?1+2???()3=18+9?m3.
32（11）已知集合A={x?R||x+2|<3}，集合B={x?R|(x?m)(x?2)<0},且A?B=(?1,n)，则
m= ,n= .
11．?1，1
【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.
【解析】∵A={x?R||x+2|<3}={x||?5 ?x=2pt2,（12）己知抛物线的参数方程为?（t为参数），其中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点My=2pt,?作的垂线，垂足为E，若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= . 12．2 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质. ?x=2pt2,p【解析】∵?可得抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，∴焦点F(,0)，∵点M的横坐标是3，则 2?y=2pt,ppp,?6p)，EF2=(?)2+(0?6p)2 222p122由抛物线得几何性质得MF=+3，∵EF=MF，∴p+6p=p+3p+9，解得p=2. 24M(3,?6p)，所以点E(?（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=3，则线段CD的长为 . 2 13． 4 3【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵AF=3，FB=1，EF=3，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，又∵BD∥CE，∴2AFFCAB48=?FC=?2=，设CD=x，则AD=4x，再由切割线定理得BD2=CD?AD，即，BD=ABBDAF33844x?4x=()2，解得x=，故CD=. 333 - 4 - |x2?1|（14）已知函数y=的图象与函数y=kx?2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围 x?1是 . 14．(0,1)?(1,4) 【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围. 【解析】∵函数y=kx?2的图像直线恒过定点B(0,?2)，且A(1,?2)，C(?1,0)，D(1,2)，∴kAB=?2+2=0，1?0kBC=0+22+2=?2，kBD==4，由图像可知k?(0,1)?(1,4). ?1?01?042DOC510B42A 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6（15）（本小题满分13分）已知函数f(x)=sin(2x+8?3)+sin(2x??3)+2cos2x?1，x?R. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； 10（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?12??44,]上的最大值和最小值. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为y=Asin(?x+?)的数学模型，再根据此三角模型的图像与 性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记?=|X?Y|，求随机变量?的分布列与数学期望E?. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. （17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA丄 率问题来考查， 个角度来理解问模型求解，因此平面ABCD， - 5 -