an?an?1?an?2an?332n?1解：an?1an?2?a3a2?a2a11?2n?12n?32n?5533?????2n?12n?12n?3752n?1
∴
an?a1??2n?1
an?k?m?an?1m?an?1型。
1?k(1an?1?1)1?k?1an?1?km
[例4]
考虑函数倒数关系有anCn?1m ∴ an令 练习：
an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。
1. 已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。 解：
设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1?4?2n?1 ∴ an?2n?1?1
*2. 已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N）求通项公式。
解：
an?an?1?2(n?1) an?1?an?2?2(n?2) an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2
?a2?a1?2?1
2an?a1?2[1?2???(n?1)]?n?n
11
∴ an?n?n?1
an?1?nn?2an23. 已知{an}中，解： an?an?1?且a1?2求数列通项公式。
an?2?a3?a2?n?1n?2n?3n?4212??????an?1an?2an?3a2a1n?1nn?1n?243an?24∴ a1n(n?1)a ∴
n?n(n?1)
n?1a2?ann?1?4. 数列{an}中，2n?1?an，a1?2，求{an}的通项。
解：
12n?1?an1a?n?1?1n?12an ∴ an?1a?1?1n2n
bb1n?1设an?1?bn?2n?1bn?bn?1?1n ∴
∴ 2n
b1∴
n?bn?1?2n
b1n?1?bn?2?2n?1
b1n?2?bn?3?2n?2……
b13?b2?23
?bb
2?1?122
112[1?()n?1]?2211b?1111?2?2n n?b122?23???2n1?2
12
n(n?1)
bn?12?12n∴
?12?2?12nn ∴
an?12an?2nn2?1
5. 已知：a1?1，n?2时，解：
an?An?B?121212an?1?2n?1，求{an}的通项公式。
设
[an?1?A(n?1)?B]1212
an?an?1?An?A?B
????????∴ ?121A?21?A??4?A?B??122 解得：?B?6 ∴ a1?4?6?3
1∴ {an?4n?6}是以3为首项，2为公比的等比数列
1n?13an?4n?6?3?()an?n?1?4n?622∴ ∴
【模拟试题】
1. 已知{an}中，a1?3，an?1?an?2，求an。
2. 已知{an}中，a1?1，an?3an?1?2（n?2）求an。
13
n
n3. 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2（n?2）求an。
an?4?4an?1（n?2）求an。
4. 已知{an}中，a1?4，
5. 已知{an}中，a1?1，其前n项和Sn与an满足
{1an?2Sn22Sn?1（n?2）
}S（1）求证：n为等差数列 （2）求{an}的通项公式
6. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足
?Sn?18(an?2)2
12 （1）求证：{an}是等差数列 （2）若bnan?30求{bn}的前n项和的最小值
14
1. 解：
nn?1由an?1?an?2，得an?an?1?2
∴ an?an?1?2n?1 ……
an?1?an?2?2n?2?a2?a1?2
n?1∴
an?a1?2(1?2)1?2?2?2n ∴ an?2?2?a1?2?1
nn2. 解：
由an?3an?1?2得：an?1?3(an?1?1)
an?1?3∴ an?1?1 即{an?1}是等比数列
n?1an?1?(a1?1)?3 ∴ an?(a1?1)?3n?1?1?2?3n?1?1
3. 解：
n由an?2an?1?2得2nan?an?12n?1?1∴ 2{an}nan成等差数列，2n?12?(n?1) ∴
an?n?2?2nn?1
4. 解： an?1?2?2?4an1an?212?2(an?2)an?12（n?1）设
1 ∴ an?1?2bn??an2(an?2)?12?1an?2（n?1）
1∴ an?1?2?1an?2
即
bn?1?bn?(n?1)
1?1a1?215
∴ {bn}是等差数列 ∴ an?2
?(n?1)?12?n2
an?2n?2
5. 解：
Sn?Sn?1?2Sn2（1）
1Sn?1Sn?1?22Sn?1 ∴ Sn?1?Sn?2SnSn?1
{ ∴
}Sn是首项为1，公差为2的等差数列
11∴ Sn?2n?1
2(12n?112n?1)2（2）
Sn?12n?1 ∴
an?2???1?24n?8n?32(n?2)
n?1(n?2)?1?an???2?2?4n?8n?3又 ∵ a1?1 ∴
6. 解：
a1?S1?18(a1?2)2（1）
∴ a1?2
18(an?2)?2n?2时，
an?Sn?Sn?1?18(an?1?2)2
整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0
∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4 ∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ an?4n?2
bn?12(4n?2)?30?2n?31（2）
∴ {bn}为等差数列 ∴ Sn?n?30n
2∴ 当n?15时，Sn的最小值为15?30?15??225
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