6
－，0?. ∴ 直线MN过x轴上的一定点P??5?
x2y22
变式训练 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，其
ab2焦点在圆x2＋y2＝1上．
(1) 求椭圆的方程；
→→
(2) 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM＝cosθOA＋→sinθOB.
① 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； ② 求OA2＋OB2.
(1) 解：依题意，得c＝1.于是a＝2，b＝1. x22
所以所求椭圆的方程为＋y＝1.
2(2) ①证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2x2122
则＋y1＝1①，＋y22＝1②. 22
→→→又设M(x，y)，因OM＝cosθOA＋sinθOB，
??x＝x1cosθ＋x2sinθ，故? ?y＝y1cosθ＋y2sinθ.?
?x1cosθ＋x2sinθ?2因M在椭圆上，故＋(y1cosθ＋y2sinθ)2＝1.
2x1?2?x2＋y2?2?x1x2＋y1y2?cosθsinθ＝1. ＋y2整理得?1cosθ＋2sinθ＋2?2??2??2?x1x2将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得＋y1y2＝0.
2所以kOAkOB＝
y1y21
＝－为定值． x1x22
2
2
2
2
x1x2?2x1x22222222
－② 解：(y1y2)＝?＝(1－y21)(1－y2)＝1－(y1＋y2)＋y1y2，故y1＋y2＝1. ?2?＝2·2
2
22
xx12222?＋y1?＋?＋y2又?2＝2，故x1＋x2＝2. ?2??2?
222所以OA2＋OB2＝x21＋y1＋x2＋y2＝3.
例4 解：(1) 连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4， 所以RA＋RB＝4＞AB＝2，
x2y2
由椭圆定义，得点R的轨迹方程为＋＝1.
43
(2) 设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM、QN的斜率分别为kQM、kQN， y0y0则kQM＝，kNQ＝，
x0－2x0＋2
11
y0y0所以直线QM的方程为y＝(x－2)，直线QN的方程为y＝(x－2)．
x0－2x0＋2令x＝t(t≠2)，则y1＝
y0y0(t－2)，y2＝(t－2)， x0－2x0＋2
2
x0y2320又(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以y20＝3－x0. 434
2?3－3x2?
?40??t－2?
所以
y20y1·y2＝2(t－2)2＝
x0－4
x20－4
3
＝－(t－2)2，其中t为常数且t≠2.
4
高考回顾
x2y2x2y222
1. －＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x－y＝λ(λ>0)，即－＝1.于是927λλ
3λ4λ
c2＝＋λ＝.又抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2
334λx2y2
＝24x的准线上，则c＝＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程－＝1.
3927
2
3x2y2→
2. 解析：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，设D(x2，y2)，B(0，b)，C(c,0)，BF＝
3ab→
(c，－b)，FD＝(x2－c，y2
?x＝2c，?by＝－.?2
22
3
1921b2
∴ 2·c＋2·＝1， a4b4
933
∴ e2＝，∴ e＝. 443
x2y2
3. ＋＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c＝1.分析可知直线AB为圆541111
1，?为圆心，为半径的圆的公共弦．由(x－1)2＋?y－?2＝与x2＋y2＝1x2＋y2＝1与以??2??2?42相减得直线AB方程为：2x＋y－2＝0.令x＝0，解得y＝2，∴ b＝2，又c＝1，∴ a2＝5，x2y2
故所求椭圆方程为：＋＝1.
54
2aab?a2abc?4. (1，2) 解析：由题可知A?－c，c?，c－<，∴ b
cca
即1 5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M、N的中点坐标为?－1，－? 2?， 2?直线PA平分线段MN，又直线PA经过原点，所以k＝ 2. 2 ??y＝2x，?2，4?，A?－2，－4?， (2) 直线PA：y＝2x，由?2得P23??33??3??x＋2y＝4， 12 2x－ 32?y2 ，0，AB方程：＝C?，即：x－y－＝0， ?3?4223 －－－333 所以点P到直线AB的距离d＝ ?2－4－2??333?22 2 ＝3 . (3) (解法1)由题意设P(x0，y0)，A(－x0，－y0)，B(x1，y1)，则C(x0,0)， ∵ A、C、B三点共线，∴ kAC＝kAB， y0y1＋y0＝， 2x0x1＋x0 y0－y1x2y2x2y20011又因为点P、B在椭圆上，∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：kPB＝＝－ 4242x0－x1 x0＋x1 ， 2?y0＋y1? x0＋x1??y1＋y0??x0＋x1?y0? ∴ kPAkPB＝?－＝－＝－1，∴ PA⊥PB. ?x0?2?y0＋y1???x1＋x0??y0＋y1? (解法2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点T(x0，y0)，则P(－x1，－y1)，C(－x1,0)， ∵ A、C、B三点共线，∴ y2－y1y1y2＝＝＝k，又因为点A、B在椭圆上， x2＋x1x2－x12x1AB 22 x2y2x2y0121y1∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：＝－， 4242x02kAB y0y11∴ kOTkPA＝·＝－×2kAB＝－1，∵ OT∥PB，∴ PA⊥PB. x0x12kABy＝kx，??22?2，2k?， (解法3)由?xy得P??1＋2k21＋2k2??＋＝1，??42A?－ ?? 22k??2，0?， ?2，－2?，C?1＋2k1＋2k??1＋2k2? 2k b1＋2k2kk??kAC＝＝，直线AC：y＝?x－2?， 422?1＋2k? 21＋2k k2?24＋6k2x2y22k2?代入＋＝1得到?1＋2?x－x－2＝0， 421＋2k21＋2k 4＋6k2 解得xB＝， ?2＋k2?1＋2k22k?x－?B?2?1＋2k?－4kyB－yP2?1?－1?＝－1，∴ PA⊥PB. kPB＝＝＝2＝－.∴ kPA·kPB＝k·?k?24kkxB－xP xB－ 1＋2k2点评：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判断．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综 13 合解题能力，属难题． c2a2 6. 解：(1) 由e＝＝，＝22， a2c x2y2 解得a＝2，c＝2，b＝a－c＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1. 42 2 2 2 →→→ (2) 设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP＝OM＋2ON，得 (x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2. 222 因为点M，N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4， 222 故x2＋2y2＝(x21＋4x2＋4x1x2)＋2(y1＋4y2＋4y1y2) 222＝(x1＋2y21)＋4(x2＋2y2)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知， y1y21 kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20. x1x22 x2y2 所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭 ?25?2?10?2 圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因c＝?25?2－?10?2＝10，因此两焦点的坐标分别为F1(－10，0)，F2(10，0)． 14