《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布
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§3.1§3.2 二维随机变量及其分布
一．单项选择题
1. 设F(x,y)是任意两个随机变量X和Y的联合分布函数，则错误的是( ) （A）F(x,y)对于每一个自变量单调不减 （B）F(x,y)对于每一个自变量右连续 （C）F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1 （D）对于任意的a?b,c?d，有
P(a?X?b,c?Y?d)?F(b,d)?[F(a,d)?F(b,c)]?F(a,c)
2. 随机变量X和Y相互独立，都服从于0?1分布：P(X?0)?P(Y?0)?则P(X?Y)?( )
57（A）0 （B） （C） （D）1
99二．填空题
2, 31. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为
(1) a? ； (2) X,Y独立吗? ；
Y X ?1 0 ?1 1 3 a/3 a 1/12 1/8 3/8 2a (3) F(0,2)? ； P(?1?X?0,2?Y?3)? .
?Cx0?x?4,0?y?12. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，
其它?01 则：(1)C? ；(2) P(?1?X?3,?Y?1)? ；
2(3) fX(x)? ； (4) fY(y)? .
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三．计算题
1. 设袋中有4个球，分别标有数字1,2,2,3从袋中任取一球（其数字记为X）之后不能再放回，再从袋中任取一球（其数字记为Y），求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律，并判断X,Y是否独立.
?Cy(1?x)0?x?1,0?y?x2. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，求常
0其它?数C，并判断X,Y是否独立.
?1?(x?y)0?x?2,0?y?23. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??8,求常
?其它?0数C，并判断X,Y是否独立.
4. 设G表示抛物线y?x2及直线y?x所包围的区域，X,Y服从G上的均匀分布，求联合概率密度.
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《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布
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*§3.3§3.4 二维随机变量的分布
一．单项选择题
1．设X与Y相互独立，且P(X?0)?P(Y?0)?1X,Y}?0)?( ) ，则P(max{31581（A） （B） （C） （D）
9993
二．填空题
1．设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,0?y?2?2x上服从均匀分布.求随机变量Z?X?Y的分布函数F(z)＝_________________.
12．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,1),Y～N(0,)，Z?X?2Y，求随机
2变量Z的概率密度为________________.
3．设X~N(1,3)，Y~N(2,2)，且X与Y相互独立，则X?Y~_____________.
三．计算题
1.设随机变量U与V相互独立，且P(U?0)?P(U?1)?P(V?1)?12，P(V?0)?，231U,V}求（1）X,Y的分布律； ，记X?min?U,V?，Y?max{3（2）(X,Y)的分布律.
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?6x,0?x?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??， 求
?0,其 它Y的条件密度函数fYX(yx?1/3)；（1） （2）当X?1/3时，X,Y的边缘密度函数；
（3）P(X?Y?1).
3. 设随机变量X在(0,a)上随机地取值，服从均匀分布，当观察到X?x(0?x?a) 时，Y在区间(x,a)内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求： （1）(X,Y)的联合密度函数f(x,y)； （2） Y的密度函数fY(y).
4. 随机变量X与Y相互独立，且X与Y的分布律相同，X的分布律为 （1） 求Z?X?Y的分布律； （2） 求M?max?X,Y?的分布律 （3） 求N?min?X,Y?的分布律.
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X p 0 1/6 1 1/3 2 1/2 《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布
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习 题 课
一．选择题
1. 设随机变量X和Y有相同的概率分布
P(XY?0)?1,则P(X2?Y2)?( )
（A）0 （B）0.25 （C）0.50 （D）1
*
X P ?1 0 1 0.25 0.5 0.25 2. 设X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是( )
（A）(X,Y) （B）X?Y （C）X2 （D）X?Y
二．填空题
1. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为
XY 1 2 3 则,a,b应该满足条件 ， 若X和Y相互独立，则a? ，b? . 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 a b ?10?x?1,0?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??
其它?0 则P(X?0.5,Y?0.6)? . 三．计算题
??A(1?x2?y2)x2?y2?11. 设随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)??，
0其它??求系数A.
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