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高一 褚哲 学 科 数学 版 本 苏教版 函数的概念和图象、函数的表示方法 【本讲教育信息】
一. 教学内容：
函数的概念和图象、函数的表示方法
【教学目标】
1. 正确理解函数的概念，通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括的能力。
2. 理解函数的定义域和值域，并会求一些简单函数的定义域和值域。
3. 理解函数的图象是点的集合，能根据函数解析式画出函数的图象，并通过画图象的过程进一步体会函数的定义。理解函数图象在数学中的研究价值及在社会生产实践中的应用价值。
4. 领会表示函数有三种方法，并了解各种方法的优点。在具体问题中会选择恰当的方法表示函数，初步感受建立函数模型解决实际问题的思想，通过分段函数的学习能进一步加深对函数概念的理解。
【知识要点】
（一）函数的概念和图象
（1）估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据，从人口统计年鉴中可以得到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？ 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 （2）一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落的时间x（s）之间近似的满足关系式y?4.9x。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？ （3）下图为某市一天24小时内的气温变化图
2
1. 函数的概念
函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数（function），通常记为y?f(x)，x?A。其中，所有的输入值x组成的
集合叫做函数y?f(x)的定义域（domain）。 注意问题：
（1）“y?f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是符号，不表示y等于f与x的乘积。
（2）给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。在函数定义中，所有能输入的值x组成的集合A叫做y?f(x)的定义域，而对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成集合称为函数的值域。 2. 函数的图像
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点x0，f(x0)。当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点。所以这些点组成的集合（点集）为
????x，f(x)?|x?A?，即
?(x，y)|y?f(x)，x?A?，所有这些点组成的图形就是函数y?f(x)的图象。
（二）函数的表示方法
1. 列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。
2. 解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。
3. 图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法。
【典型例题】
例1. 求下列函数的定义域： （1）y? （2）y? （3）y?2?x·x?2
2?x
2x?3?x?2?0x?x
?x?2?0 解：（1）为使函数有意义，则?
x?2?0? 解得：x?2
所以定义域为?x|x?2?
（2）为使函数有意义，则? 解得：x?2且x??2?x?0
?2x?3?03 23?? 2??x?2?0 （3）为使函数有意义，则?
?x?x?0 解得：x?0且x??2
所以定义域为?x|x?2且x???
所以定义域为?x|x?0且x??2?
小结：一般，求函数定义域，归结为解不等式组成的混合组，要注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根被开方数非负；（3）零次幂的底数不为0。
例2. 设函数f(x)?2x?3，求f(1)，f(2)，f(a)，f(f(1))。 解：f(1)?2?1?3?5
f(2)?2?2?3?7 f(a)?2a?3
f(f(1))?f(5)?2?5?3?13
例3. 试画出函数f(x)?x2?1的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较f(?2)，f(1)，f(3)的大小；
（2）若0?x1?x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小。 解：
y 2 1 x -2 -1 0 1 2 （1）容易发现，当f(?2)?f(2)，f(1)?f(2)?f(3) 所以f(1)?f(?2)?f(3)
（2）由图发现当0?x1?x2时，f(x1)?f(x2)
例4. 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费。试写出收费额关于路程的函数解析式。
解：设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得：当x?3时y?7；当x?3时，按2.4元/km所收费用为2.4??x?3?，那么有y?7?2.4??x?3?
?7 于是收费额关于路程的解析式为y???7?2.4??x?3??7 即y???7?2.4?(x?3)0?x?3
x?30?x?3x?3
——分段函数：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数通常叫做分段函数。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题。
1. 判断下列对应是为集合A到集合B的函数的是（ ）
（1）A?B?R，对于任意的x?A，对应法则f是：x?1?x
2
（2）A?0，1，2，B??0， （3）A?????x，y?x，y?R?，B?R，对于任意的?x，y??A，对应法则f是：
??11?对于任意的x?A，对应法则f是：x? ，1?，
x2??x，y??x?y
（4）A?B?R，对于任意的x?A，对应法则f是：x??1?x2
?x2(x?0)? 2. 已知f(x)????x?0?，则f?f[f(?2)]?等于（ ）
?0(x?0)? A. 0
B.
?
C. x
2 D. 4
3. f(x)?x2?ax?b满足f(1)?0，f(2)?0，则f(?1)的值是（ ） A. 5 B. ?5 C. 6 D. ?6 4. 已知f(x)?x?1，则f(f(3))?（ ） A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
5. 函数f(x)? A. ?x|x?0?
x?1?
21的定义域是（ ） x B. ?x??1或x?0?
D. R
C. ?x|x??1且x?0? A. ?y|y?1?
6. 函数f(x)??x?1??1，x??1，0，1，2，3值域为（ ）
D. 2，5
?B. ?1，2，5? ?C. ?1，2?
?? 7. 下列选项不可能是直线y?a和函数y?x2?1的图象的公共点个数的是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 不满足条件f(1)?1，f(2)?4的函数解析式是（ ） A. f(x)?x C. f(x)?x
32
?x(x?1)B. f(x)??
2x(x?1)?(x?1)?1D. f(x)??2
(x?2)?x
二. 填空题。
1. 已知函数f(x)?3x?5，x?R，f(?3)?__________，f(a)?2，f(?2)?，f(0)?
，f(x?1)?__________。
2 2. 设函数f(x)?x?2，g(x)?2x，则f(g(x))?__________。
3. 根据函数f(x)?x?2x?3的图象，比较大小： f(?3)f(?2)，f(?2)(x?0)(x?0)f(3)
，若f(x)?10，则x?__________。
?x2?1 4. 已知f(x)????2x
三. 解答题。
1. 已知函数f(x)?ax?b，且f(3)?7，f(5)??1，求f(0)，f(1)的值。
tt，g(t)?，证明：f(t)?g(t)??2g(t2) 1?t1?t 3. 画出函数f(x)?x的图象，并求f(?3)，f(3)，f(?1)，f(1)的值。
2. 如果f(t)? 4. 已知某皮鞋厂一天的生产成本C（元）与生产数量n（双）之间的函数关系是C?4000?50n。
（1）求一天生产1000双皮鞋的成本。
（2）如果某天的生产成本是48000元，问：这一天生产了多少双皮鞋？
（3）若每双皮鞋售价为90元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润P关于这一天生产数量n的函数关系式。
【试题答案】
一. 选择题。
1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. D 8. C 二. 填空题。
1. f(?3)??4，f(?2)??1，f(0)?5，f(a)?3a?5，f(x?1)?3x?8 2. 4x?2 3. ＞；＜
4. ?3 三. 解答题。
1. f(0)?19，f(1)?15
2tt?2t2????2g(t2) 2. f(t)?g(t)?21?t1?t1?t 3. 解：（图略）
??x f(x)?x???xx?0，其中f(?3)?3，f(3)?3，f(?1)?1，f(1)?1 x?0 4. （1）4000?50?1000?54000 （2）48000?4000?50n，n?880 （3）P?40n?4000