第一章第三节第1课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【典例剖析】
【目 标 要 求】 类型一 空间几何体的表面积问题 1.了解空间几何体的表面积与体积的概念．
【例1】 设正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的全
2．了解柱体、锥体、台体的表面积公式的推导，会用上述公式求简单几何体的表面积．
面积． 3．了解柱体、锥体、台体的体积公式的推导，会用上述公式求简单几何体的体积.
【知识预览】 1．正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是 面积的和，也就是
的面积．
2．一般地，我们可以把多面体 ，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积．
(1)棱柱的表面积＝S侧＋ ，其侧面展开图是由若干个平行四边形拼成的． (2)棱锥的表面积＝S侧＋ ，其侧面展开图是由若干三角形拼成的．
(3)棱台的表面积＝S侧＋ ，其侧面展开图是由若干梯形拼成的．
3．类比多面体，我们也可以把圆柱、圆锥、圆台的表面积转化成平面图形求面积．
(1)S圆柱＝S侧＋2S底，圆柱的侧面展开图是一个 ，如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，圆柱的
表面积S＝ ． (2)S圆锥＝S侧＋S底，圆锥的侧面展开图是一个 ，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它
的表面积S＝ ．
(3)S圆台＝S侧＋S上底＋S下底，圆台的侧面展开图是一个 ，如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，它的表面积S＝ ． 4．柱体、锥体与台体的体积．
V柱体＝_____(S为底面积，h为柱体高)；
V锥体＝ ______(S为底面积，h为锥体高)，锥体的高是指
V台体＝_________________________________(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)，台体的高是指 ． 【自评自测】 1．(2010·泉州模拟)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 ( )
A.23π B．2π C.8π
3 D．8π 2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )
A．3π B．33π C．6π
D．9π
3．圆台上、下底面面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________．
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是________．
5．已知底面半径为3 cm，母线长为6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积和体积．
练习1.正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，全面积为512 cm2，求底面的边长．
类型二 空间几何体的体积问题
【例2】 如下图所示，一个直三棱柱形容器盛有水，且侧棱AA′＝8，若侧面AA′B′B水平放置时，液面恰好过
AC、BC、A′C′、B′C′的中点，当底面ABC水平放置时，
液面高为多少？
练习2.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π＝3.14)
类型三 组合体的面积与体积问题
【例3】 如下图(1)，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，
AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的
旋转体的表面积和体积．
练习3.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
类型四 分割法与补形法求体积
【例4】 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3
，EF
2与面AC的距离为2，求该多面
体的体积．
练习4.已知四面体ABCD中，AB＝CD＝13，BC＝AD＝25，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
【感悟生华】
对应以上图形我们可以发现 (1)侧面积公式的演变关系：
类似地，我们可以推导出圆柱、圆锥、圆台体的侧面积与体积公式也有这样的关系．