2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
?a 1．把?
?c
－bc.
??ax＋by＝m2．方程组?
?cx＋dy＝n?
b?
?a ?称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝?d??c
b?d?
?＝ad
?a
写成矩阵形式为AZ＝B，其中A＝?
?c
b?d?
?，称为系数矩阵，Z＝
?x??m?
??，B＝??，当A可逆时，方程组有唯一解，当A不可逆时，方程组无解或有无数组解． ?y??n?
??ax＋by＝m3．对于方程组?
?zx＋dy＝n?
?a
，令D＝?
?c
b?d?
?，Dx
?m ＝??n
b?
?a
?，Dy＝?d??c
m?
?，当D≠0时，方程组有唯一组解，为x＝D，y＝D.
n?
?a
，令D＝?
?c
b?d?
DxDy??ax＋by＝0
4．对于方程组?
?cx＋dy＝0?
?，当D＝0时，此方程组有非零解．
5．二阶矩阵A＝?
?a b?
?可逆的充要条件是det(A)≠0且A?c d?
－1
??＝??
dA－c
－bAaAA??. ??
[对应学生用书P34]
求行列式的值
?λ－2 3λ＋5?
[例1] 求??的最大值(其中λ∈R)．
?2λ－2 5λ＋8?
[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．
?λ－2 3λ＋5?
[精解详析] ??
?2λ－2 5λ＋8?
＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ－6λ－6＝－(λ＋3)＋3≤3，
2
2
1
?λ－2 3λ＋5?∴??的最大值为3. ?2λ－2 5λ＋8?
?a
(1)矩阵A＝?
?c
b?
?a
?与它的行列式det(A)＝?d??c
b?d?
矩阵A不是一个数，?的意义是不同的．
而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A)是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
(2)?
?a
b??c
d?
?＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．
1．计算下列行列式的值：
(1)?? 6 2??cos θ ?－5 －3??；(2)?－sin θ??sin θ cos θ?? 解：(1)?? 6 2??－5 －3??
＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；
(2)?
?cos θ －sin θ??sin θ cos θ??
＝cos2 θ－(－sin2
θ)＝1.
2．若?? x2 y2
?? －1 1??＝??x x??y －y??
，求x＋y的值．
解：x2＋y2
＝－2xy?x＋y＝0.
利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵
[例2] 已知A＝??
1
2?
?1??－1
2??，B＝? 1 ?－1
1?
?，判断AB是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．
[精解详析]
AB＝?
? 1
2??1?
3??－1 2?? ? 1 ?－1??＝?1
?－1 ?－3 1??
. 因det(AB)＝??
－1
3??－3
1?
?＝－1＋9＝8≠0，故AB可逆，
2
∴(AB)
－1
3 －??188??＝. 31? －??88?
?a
已知矩阵A＝?
?c
b?d?
?，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：
?a b?
?＝ad－bc，当det(A)≠0时，逆矩阵存在． ?c d?
－b(1)首先计算det(A)＝?
(2)利用A－1
??＝??dA－cAaAA?
?，求出逆矩阵A??
－1
.
3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．
?－1 (1)?? 1 1??1 ；(2)??1??0
a?
?a
；(3)??1??0
0?
?.
1?
11－ ??22??－1 1??解：(1)二阶行列式?. ?＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为
11? 1 1?? ??22?
?1
(2)二阶行列式?
?0
(3)二阶行列式?
a?
0?1?
?1 －a?
?＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为??. 1??0 1?
?＝a，当a＝0时，矩阵不可逆，当a≠0时，矩阵可逆，逆矩阵
?a ?0
?1 0?
?. 为?a??? 0 1?
4．若矩阵A＝?
?3 9?
?存在逆矩阵，求x的取值范围． ?6 x2?
?3 9?
解：据题意det(A)≠0，即??≠0.
?6 x2?
∴3x－54≠0. ∴x≠±32.
2
3
故x的取值范围是{x|x∈R且x≠±32}.
??3x－2y＝1，
[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组?
??－x＋4y＝3.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x＝，y＝求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．
[精解详析] 法一：(行列式解法)
DxDDyD? 3 －2?D＝??＝12－2＝10， ?－1 4?
Dx＝?Dy＝?
?1 －2?
?＝4＋6＝10，
?3 4?? 3 ?－1
1?
?＝9＋1＝10， 3?
xD10x＝＝＝1??D10
故方程组的解为?D10
y＝??D＝10＝1.
y
法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式
? 3 －2??x??1?
?? ??＝??. ?－1 4??y??3?
令M＝?
? 3 －2?
?，则其行列式
?－1 4?
? 3 －2?
?＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，
?－1 4?
－1
det(M)＝?
所以矩阵M存在逆矩阵M，且 4221 ??10??10??55??＝＝， 1313? ?? ??1010??1010?
M－1
4