数论教案
§1整数的整除 带余除法
1 整数的整除
设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a？当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.
如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?a.
例1判断下列各题是否b|a？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质
(1)如果c|b,b|a,那么c|a;
(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.
(3)如果
a1,a2,?,an都是m的倍数,q1,q2,?,qn是任意整数,那么
q1a1?q2a2???qnan是m的倍数.
(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法
设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得 a=bq+r,0?r＜ b. (1) 这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.
例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.
求b除a的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.
1
具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b?a.
例3 利用计算器求余数:
(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质
能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).
奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,
偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.
例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5
设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,
22a?b?2n,证明n是偶数. 例4设a,b,n是任意3个整数,而且
例5设a是任一奇数,试证明8|
例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.
证明 对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是
222qa=9或 a=9q±6q+1=3(3q2±2q)+1.
a?1.
22即
a2≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.
练习 设n是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.
§2公因数、最大公因数
1.最大公因数、辗转相除法
2
中小学里的公因数、最大公因数的概念：
几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设1a,a2,?,an,d都是整数,d≠0,如果dai,i=1,2,?,n,称d是
a1,a2,?,an的公因数,a1,a2,?,an的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为(a1,a2,?,an).如果(a1,a2,?,an)=1,则
称12n互质。
例1 (-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.
在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法：
(1)观察法；
(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的； (3)用短除法.
辗转相除法:设a,b是正整数,而且有
a,a,?,aa?bq1?r1,0?r1?b;
b?rq12?r2,0?r2?r1; r1?r2q3?r3,0?r3?r2;
????? （*）
rn?2?rn?1qn?rn,0?rn?rn?1;
rn?1?rnqn?1.
(a,b)?rn。
例2用辗转相除法求(123,78),
练习:用辗转相除法求(66,54).
下面说明辗转相除法的正确性.先证明
性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c). 证明 由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.
因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)?(b,c); 反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)?(a,b). 所以(a,b)=(b,c).
3
由(*)式知
b?r1?r2???rn?1?rn?0,而n是有限正整数,再由性质1得
(a,b)?(b,r1)?(r1,r2)??=(rn?2,rn?1)?(rn?1,rn)?(rn,0)?rn.
2.最大公因数的性质 最大公因数的几个性质：
性质2 (am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据) 例3求(84,90),(120,36).
(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12. 性质3 (a,b)=(|a|,|b|). 性质4 (a,b,c)=((a,b),c).
例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).
例5设n是任意整数,证明3n?15n?2是既约分数.
证明 设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，
所以3n+1与5n+2互质.
作业 1.利用辗转相除法求(84,90). 2.求(120,36).
3n?1 3.设n是整数，证明
7n?2是既约分数。
§3整除的进一步性质及最小公倍数
1.整除的进一步性质
推论1设a,b不全为零,那么有s,t∈Z使得as+bt=(a,b). 证明 将(*)中每式中的余数解出得
rn?rn?2?rn?1qn,
rn?1?rn?3?rn?2qn?1,?,
r2?b?rq12,
r1?a?bq1rn?1,rn?2,?,r2,r1的表达式依次代入到rn?rn?2?rn?1qn中就得au+bv=rn=(a,b)=d,u,v∈Z.
例1用辗转相除法求(120,54),并求整数u,v使得
120u+54v=(120,54).
解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴(120,54)=6. 12=120-2×54,6=54-12×4=54-(120-2×54)×4 =120×(-4)+54×9. ∴ u=-4,v=9.
练习用辗转相除法求(84,45),并求整数u,v使得
84u+45v=(84,45).
设a,b都是正整数,问a,b的公因数与最大公因数有什么关系？ 例2 ①求(12,18)及12与18的所有正的公因数；
通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系？能否提出自己的猜想？能否证明自己的猜想？
性质1 设d 是a,b的最大公因数,那么,a,b的任一公因数都是d的因数.
4
,再将
证明 如果d=(a,b),由性质2有u,v∈Z使得au+bv=d.设s是a,b的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.
ab,性质2如果d=(a,b),则(
dd)=1.
性质3如果(a,c)=1,且c|ab,则c|b. 性质4如果(a,c)=1,则(ab,c)=(b,c). 性质5如果(a,b)=1,且a|c,b|c,则ab|c. 例3证明 三个连续整数的积一定可被6整除. 2最小公倍数
定义 如果m是
a1,a2,?,an中每一个数的倍数,则称m是整数
a1,a2,?,an的一个公倍数.a1,a2,?,an的公倍中最小正整数称为a1,a2,?,an的最小公倍数.用
[
a1,a2,?,an]来表示.
a1,a2,?,an]=[|a1|,|a2|,?,|an|].
例如 [2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.
定理3 [
定理4 设a,b是两个正整数,则 (i)a,b的任一公倍数是[a,b]的倍数；
ab(ii)[a,b]=
(a,b).而且若(a,b)=1,则[a,b]=ab.
证明(i)设m是a,b的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0?r<[a,b]
,因m,[a,b]都是a,b的公倍数,由r=m-t[a,b]知r也是a,b的公倍数,若0 a[a,b]ab?(ii)记d=,则d是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及 [a,b]db, b[a,b]?da知d|a,d|b,即d是a,b的公因数. ababdabba??Z?a?b 设h是a,b的任一公因数,由,所以h|d, hhh是a,b的公倍数及TH16知[a,b]|h,即[a,b]hh 5