第9章 多目标函数的优化设计方法
Chapter 9 Multi-object Optimal Design
在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。
9.1 多目标最优化模型
9.1.1 问题举例
例9-1 生产计划问题 某工厂生产n（n?2）种产品：1号品、2号品、...、n号品。
已知：该厂生产i(i?1,2,...,n)号品的生产能力是ai吨/小时； 生产一吨i(i?1,2,...,n)号品可获利润?i元；
根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi(i?2,...,n)吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。
问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；
工厂获得最大利润；
满足市场对1号品尽可能多地要求。
为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi(i?1,...,n)小时。 9.1.2 基本概念
如图9.1所示，两个目标函数f1,f2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若
fj(x*)?min{fj(x) j=1,2,....,q f21 S.t．gu(x)?0 u=1,2,………….m
2成立，则称x为非劣解。若不存在一个方向，同时满足：
*34?f(x*)?s?0 (目标函数值下降) f1?g(x*)?s?0 (不破坏约束)
图9.1
则称x为约束多目标优化设计问题的K-T非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型：
*V??minF(X)?[f1(x),f2(x),........fr(x)]T
1
S.t．gu(x)?0 u=1,2,………….m
hv(x)?0 v=1,2,……….p
式中：F(X)是向量目标函数。
由于各目标函数往往是相互抵触的，且重要性也不同，因此，应慎重对待。
9.2 多目标优化问题的求解方法
一类是转化为一系列单目标求解； 一类是构造一个新的目标函数求解。 9.2.1 约束法 min.....fk(x)
s.t........gu(x)?0 u=1,2,………….m
hv(x)?0 v=1,2,……….p
fj(x)?fj0 j=1,2,….,r r?k
式中： fk(x)----重要的目标函数
fj0------第j个目标函数的期望值。
9.2.2 分层序列法
将r目标函数按重要程度排队f1(x),f2(x),........fr(x)，然后采用宽容分层序列法。
?minf1(x)?f1*?1） ??
x?D..............???minf2(x)?f2*.....................?2） ?? *?x?D?x|f1(x)?f1??1???
.....................??minfr(x).........*??r ?x?D?x|fj(x)?fj??j?
?.......................j?1,2,......r?1??????j---宽容量，是为了防止在计算第k个目标函数值后，若取唯一解，将会导致以后计
算中断。
x为最两目标优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图9.2所示。不作宽容时，~优解，它就是第一个目标函数f1(x)的严格最优解。若给定宽容值?1，则宽容的最优解为
x(1)，它一进考虑了第二个目标函数f2(x)，但是对第一个目标函数来说，其最优值就有一
2
个误差。
例：用宽容分层序列法求V?maxfx?D(x)
式中 F(x)?[f1(x),f2(x)]T；f1(x)=0.5?(6?x)cos?x；f2(x)?1?(x?2.9)2； D?{x|1.5?x?2.5}
按重要程度将目标函数排队为：f1(x)，f2(x)。首先求解
V?maxf1(x)?0.5?(6?x)cos?x得最优点x(1)?2
x?D对应得最优值为 f1(x)=0.5?(6?2)cos2?=2 设给定的宽裕量?1=0.052,则可得
D1?{x|f1(x)?f1(x(1))?0.052,..1.5?x?2.5}
然后求解
maxx?D1f2(x)可得
maxf2(x)?1?(x?2.9)2
D1?{x|f1(x)?1.948,..1.5?x?2.5}
从而得最优点为 x(2)?1.9
*这就是该两目标函数的最优点x,其对应得最优值为
f1(x(2))?1.948f2(x(2))?2
最优解的情况如图9.3所示。
f(x)f??1f1**1f1?x?f2?x?f(x)2101x?2?f2?x??1??x?0.29?2234xo~xx?1?x1f1?x???6?x?cos?x2
图9.2 图9.3
9.2.3 线性加权法
3
min...............F(X)??wifi(x)
i?1r加权因子wi的选择应十分注意，为消除量级上的差别，应将其值在0~1之间规格化。 9.2.4 理想点法与平方和加权法 理想点法的评价函数
U(X)??[i?1rfj(x)?fj*fj*]2
平方和加权法的评价函数
U(X)???j[fj(x)?fj*]2
i?1r9.2.5 功效系数法
设有r个目标函数f1(x),f2(x),........fr(x),用dj表示第j个目标函数的好坏程度，其中0?dj?1，0为最差，1为最好。总的功效系数为
d?rd1?d2?????????dr
只要有一个为零，则总方案不可取。
在0到1之间确定功效系数，可用线性函数，指数函数等拟合。 1） 若目标函数追求的是极小，则为图9.4a； 2 ）若目标函数追求的是极大，则为图9.4b； 3）若目标函数追求的是某一区间，则为图9.4c。
d1ddffminfmaxffminfmaxff1f2a9.2.6 极小极大法
b图 9.4
c
* 基本思想为：先求出各分目标函数 fj(x) (j?1,2,........,r)的最优解xj和fj(x)
*(j?1,2,........,r)，选取可行域中的一点X，各分目标函数的增量系数定义为:
Zj(X)?fj(x)?fj(x*)fj(x)*
4
?(x)?max{Zj(X),j?1,2,.....r}
于是原多目标优化问题可转化为下列单目标求解：
min.......?(x)?max{Zj(X),j?1,2,.....r} s.t........gu(x)?0 u=1,2,………….m
hv(x)?0 v=1,2,……….p
可以证明，如果协调曲线通过可行域，用极小极大法求得的最优点必定在协调曲线上。在可行域内的协调曲线上，若某点满足Z1(x)?Z2(x)?..........，则该点就一定是最优点，否则，最优点是协调曲线与某约束边界的交点，且该点处的各增量系数之差最小。三维以上的问题无法做出协调曲线。因此该法有较大的优越性与通用性。
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