19. 解：（1）∵圆心C在直线2x?y?0上且在x轴下方,
∴设C(a,?2a),(a?0)，又∵圆C的半径为3，且x轴被圆C截得的弦长为25 ∴32?(5)2?(?2a)2，解得a?1 ∴C（1，-2）
?圆C的方程是（X-1）2+（Y+2）2=9
（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则 OA?OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x2+ y1y2=0 ①
?(x?1)2?(y?2)2?9由?得 ?y?x?b2x?(2b?2)x?(b?4b?4)?0
22要使方程有两个相异实根，则[来源:学科网] △=(2?2b)2?4?2(b?4b?4)＞0
2 即?32?3 x1?x2??1?b,x1x2?b?4b?422 由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+ y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0 即有b2+3b-4=0，b=-4,b=1 故存在直线L满足条件，且方程为y?x?4或y?x? 20. 解：(1)依题意得直线MN的斜率存在， 则设MN方程为：y?(2)∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1， 14?k(x?12). ∴直线OA方程为：y=x 直线AB 2k?1111?2k?12k?1?y??k(x?)方程为：x=1，由?得M(,)424(k?1)4(k?1)?y?x?且 11?2k?12k?1?y??k(x?)N(1,)?0∴k≥1或k≤，又由?得且?0，422444(k?1)?x?1?11∴??k?. 22，得k≤?12， (3) S△AMN?12?AN?h?12[1?2k?14][1?2k?14(k?1)]?132[4(1?k)?11?k?4]. 设t?1?k?[,]，f(t)?4t?. 223232t131当∵ 1212?t1?t2?时，f(t1)?f(t2)=(4t1?1t1)?(4t2?1t2)?(t1?t2)(4t1t2?1)t1t2. ?t1?t2?，∴t1t2>0 t1-t2<0，4t1t2-1>0，∴f(t1)-f(t2)<0，即f(t1) 32f(t)在[,]是增加的.∴当t?（S△）max= 22132[203?4]?1313时，f(t)?203，即当1-k= 32时即k=?12时， .