方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．
意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
效果：
学生汇总了四种方案：
A
’
A
’
A
’
（1） （2） （3） （4）
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA'?d，
情形（2）中A→B的路线长为：
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．
如图：
（1）中A→B的路线长为：（2）中A→B的路线长为：
ABCD
．
EAFCBD>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB． （4）中A→B的路线长为：AB．
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具察．接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得
AB2?AA?2?A'B2，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则
决体
问观
AB2?122?(3?3)2,?AB?15．
注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．
第三环节：做一做
内容：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解答：（2）?AD2?AB2?302?402?2500
BD2?2500
?AD2?AB2?BD2
垂直于
是50厘
∴AD和AB垂直．
意图：
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
效果：
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，
学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
第四环节：小试牛刀
内容：
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则: AB=236=12（km） AC=135=5（km） 在Rt△ABC中:
BC2?AC2?AB2?52?122?169?132．
∴BC=13（km）．
AB东北C即甲乙两人相距13 km．
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解答：?AB2?152?202?625?252.
3220B3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插A入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解答：设伸入油桶中的长度为x m．
x2?1.52?22．则最长时:
x?2.5．∴最长是2.5+0.5=3（m）． 最短时:
初三（2）班体育成绩人数252015102010不及格及格中良好优秀成绩11．
∴最短是1.5+0.5=2（m）．
答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
意图：
对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果：
学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．
第五环节：举一反三
内容：
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
B B B A C A 解：如图，在Rt△ABC中:
∵500＞202 .
∴不能在20 s内从A爬到B.
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 52+ x2=（x+1）2.
25+x2= x2+2x+1. 2x=24.
∴ x=12，x+1=13．
人数25201510550不及格初三（1）班体育成绩2010105及格中良好优秀成绩
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 意图：
第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．
效果：
学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．
学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．
注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．
第六环节：交流小结
内容：
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．
第七环节：布置作业
1．课本习题1．4第1，2，3题．
2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴
一段，交流设