19. （本题满分14分）
为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：万元，0?x?30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
解：（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期的获利为f(x)，………………1分 则依题意有f(x)?(30?x?9)(432?kx2)?(21?x)(432?kx2)，…4分
2·22，于是有k?6，……5分 又由已知条件，24?k所以f(x)??6x3?126x2?432x?9072，x?[0，30]．…………7分
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：根据（1），我们有f?(x)??18x2?252x?432．??18(x?2)(x?12)………………9分 作出以下表格： x f?(x) f(x) 2? ?0，? ? 2 0 极小 (2，12) 12 0 极大 30? ?12，? ? ? ? ………………12分 故x?12时，f(x)达到极大值．因为f(0)?9072，f(12)?11264，则定价为30?12?18万元能使一个星期的商品销售利润最大．……14分
20．（本小题共14分）
y2已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作?P，其中圆心P
b的坐标为(m,n)．
(1) 若FC是?P的直径，求椭圆的离心率； 解：（1）由椭圆的方程知a?1，∴点B(0,b)，C(1,0)，F的坐标为(?c,0)，………………1分
bb∵FC是?P的直径，∴FB?BC∵kBC??b,kBF? ∴?b???1 --------------------2分
cc222∴b?c?1?c，c?c?1?0----------------------------------------3分
5?1解得c? --------------------------------------5分
2c5?1∴椭圆--------------------6分 e??a2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．
解：∵?P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
1?cFC的垂直平分线方程为x?--------①
22-----------7分
∵BC的中点为(,)，kBC??b∴BC的垂直平分线方程为y?---------9分
1b22b11?(x?)-----② 2b21?cb2?c1?cb2?c,y?,n?由①②得x?，即m? -----11分 22b22b1?cb2?c??0?(1?b)(b?c)?0 ∵P(m,n)在直线x?y?0上，∴ 22b∵1?b?0 ∴b?c -----------------13分
- 6 -
1∴椭圆的方程为x2?2y2?1 ---------------------14分 2?x?0?21．（本小题满分14分）设不等式组?y?0所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵
?y??nx?3n?坐标均为整数的点）个数为f(n)(n?N*)
（1）求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式；
解：⑴ f(1)?3,f(2)?6 ------------------2分
当x?1时，y取值为1，2，3，?，2n共有2n个格点
当x?2时，y取值为1，2，3，?，n共有n个格点 ∴f(n)?n?2n?3n- ------------------4分
22由b?1?c得b?2
（2）记Tn?的取值范围；
解：由Tn?f(n)?f(n?1)，试比较Tn与Tn?1的大小；若对于一切的正整数n，总有Tn?m成立，求实数m2nf(n)f(n?1)9n(n?1)? nn229(n?1)(n?2)n?1f(n?1)f(n?2)9(n?1)(n?2)Tn?1n?22?则Tn?1? ???n?1n?19n(n?1)22Tn2nn2-------------------5分
当n?1,2时，Tn?1?Tn
当n?3时，n?2?2n?Tn?1?Tn-------------------6分 ∴n?1时，T1?9
n?2,3时，T2?T3?n?4时，Tn?T3
27 227-------------------8分 2要使Tn?m对于一切的正整数n恒成立，
27?m 只需227∴m?-------------------9分
2∴?Tn?中的最大值为T2?T3?
（3）设Sn为数列?bn?的前n项的和，其中bn?2f(n)，问是否存在正整数n,t，使存在，求出正整数n,t；若不存在，说明理由。
Sn?tbn1?成立？若
Sn?1?tbn?1168(1?8n)8n?2?8?Sn??(8?1)--------------10分 解：bn?21?87?8?n8??t?8?Sn?tbn17?71?（﹡）-------------------11分 将Sn代入?，化简得，??8?n12Sn?1?tbn?116??t?8?7?7?f(n)3nn
- 7 -
8n8?18n1577若t?1时n?,即?，显然n?1-------------------12分
81277?771?8?若t?1时??t?8n??0 （﹡）式
7?7?15?8?化简为??t?8n?不可能成立-------------------13分
7?7?Sn?tbn1综上，存在正整数n?1,t?1使?成立. - --------------14分
Sn?1?tbn?116
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