泉州五中初一数学奥数培优练习（1）
——图形的计数及线段
班级______ 座号________ 姓名______________
1、计算下列各图中线段的总条数．
B C D E A A B C D E F
甲 乙
2、计算下列各图中三角形的总个数．
3、计算下列各图中正方形的总个数．
4、如图所示，平面上有16个点，在每个点上钉上钉子，如以这些钉子为顶点，用线把它们围起来，你能围出几个正方形？ A F P B E
Q G
H
C D 5、请计算图中所示的正五边形ABCDE中三角形的个数．
6、计算图中长方体（包括正方体）的个数．
A B C 7、如图，一只甲虫从A点出发，沿图中线段爬到F点，如果爬行时， 同一个点或同一条线段只能经过一次，那么这只甲虫最多有多少种 不同的爬行方法？ D F E 8、上图是由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，再根据左视图所提供的信息，确定x和y的值，并画出主视图．
x 2 1 y 2
俯视图 左视图
l4 9、图中8条直线最多能把平面分成多少部分？
l3
l2
l1
（1）
10．在一条直线上有四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点是（ ）
A．可以是直线AD外的某一点 B．只有点B或点C C．只是线段AD的中点 D．有无穷多个
11．如图，B、C、D依次是AE上的三点，已知AE = 8.9cm，BD = 3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和为 cm． A B C D E
12．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ = ． A Q P M N B C
泉州五中初一数学奥数培优练习（1） ——图形的计数及线段参考答案
1、解：图甲中的线段上共有4条基本线段AB，BC，CD，DE；由两条基本线段组成的线段有3 条：AC，BD，CE；由三条基本线段组成的线段有2条：AD，BE；由四条基本线段组成的线段有1条：AE．所以，图甲中线段的总条数是4+3+2+1=10．用同样的方法，我们可以求得图乙中线段的总条数是5+4+3+2+1=15．
2、解： 数三角形的总个数的规律与数线段方法类似，如图（a），三角形的总个数为
1+2+3+4+…+7=
7(7?1)=28． 2图(b)是一个复合图形，可采用分类的方法去数：
先看在?ABC中三角形的个数，应为1+2+3+4=10个，显然在?ACD中也应有10个三角形．另外，以BD为底边的三角形有4个．因此共有10+10+4=24个三角形．请数出图(c)中三角形的个数．
3、解： 为方便起见，假设每个小方格的边长为1个单位，并称为基本线段．
在（1）中，每边有两条基本线段，所以长为1个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2=1?2?5（个）．
在（2）中，每边有3条基本线段，有2条2个长度单位的线段，有1条3个长度单位的线段，所以边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个），边长为2个长度单位的正方形有
2×2=4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个），即
1×1+2×2+3×3=1?2?3?14（个）． 在（3）中，1?2?3?4?30（个）． 在（4）中，1?2?3?4?5?55（个）．
4、解： 这个问题与前面数正方形个数是不同的．这个问题的正方形的边不是先画好的，而是要 我们自己去定．我们知道，正方形是四个角都是直角，四条边都相等的四边形．所以，只要四个顶点选得好，就可用线围出一个正方形来．
很明显，我们能围出14个图甲那样的正向的正方形． 除此之外，我们还能围出如图乙和图丙所示的斜向正方形来，但不能围出更小或更大的斜向正方形．
图乙中所示的斜向正方形有4个；
图丙中所示的斜向正方形2个，因此，在图中共可围出20个正方形．
甲 乙 丙
222222222223225、解：在正五边形ABCDE中，根据三角形的形状和大小可分如下六类：
如△ABE的有5个；如△ABP的有10个；如△ABF的有5个；如△AFP的有5个； 如△ACD的有5个；如△AGD的有5个.
所以，图中共有35个三角形． 6、解：长方体的长AB棱上共有线段：长方体的高棱共有线段：
6?53?2?15条．长方体的宽棱上共有线段?3条．而 224?3?6条．15×3×6＝270个．因此，图中共有长方体270个． 27、解：从点A出发，有三条路可走：AB，AE，AD．因此，可以分成三类计算不同的爬法数： 沿AB出发，共有3种爬法；沿AE出发，共有3种爬法；沿AD出发，共有3种爬法．所以，最多有9种不同的爬法．
8、解：结合俯视图和左视图，可得x＝1或2；y＝3，所以
或
主视图有两种，如图
9、1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面
分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线，它与前面的3条直线最多有3个交点，这个3交点将第4条直线分成4段，其中第一段原来所在平面部分一分为二．所以，4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分．
完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5＝16个部分；6条直线最多将平面分成16+6＝22个部分；7条直线最多将来面分成22+7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29+8＝37个部分；8条直线最多将平面分成37个部分．
一般地，n条直线最多将平面分成2?2?3???n?12(n?n?2)个部分． 210．在一条直线上有四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点是（D）
A．可以是直线AD外的某一点 C．只是线段AD的中点
B．只有点B或点C D．有无穷多个
解：在线段BC上的点到A、B、C、D距离和最少为AD + BC，而BC上的点有无穷多个
11．如图，B、C、D依次是AE上的三点，已知AE = 8.9cm，BD = 3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和为 41.6 cm．
解：其长度总和 = 4AB + 6BC + 6CD + 4DE
= 4(AB + DE) + 6(BC + CD) = 4(AE – BD) + 6BD
A
B C D
E
= 4AE + 2BD = 41.6cm
12．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ = 2：1 ． 解：MN = AN – AM PQ = PA – QA A Q P M N B C
=
1(AN – AM) 2