可得
因为木块一开始静止，所以要求 ≤≤
可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是 ≤≤
4．7．2 机械能守恒定律
若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。
注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。 下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程 理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。 定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看做定常流动。流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。
伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。 图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。
处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。
处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。
经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，，记为。
现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。 作用在液体左端的力，所做的功 。
作用在右端的力，所做的功 。
外力所做的总功 （1）
外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机
械能减去流入的那部分流体的机械能。
由于，所以流入的那部分流体的动能为 重力势能为
流出流体的动能为 重力势能为
机械能的改变为 （2）
理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变
，即 W= （3） 将（1）式和（2）式代入（3）式，得
整理后得 （4）
和是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处： 常量 （5）
（4）式和（5）式称为伯努利方程。
流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为 常量 （6）
从（6）式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。
知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时（图4-7-4）如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。 伯努利方程的应用：
球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。
设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 ① 取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为 ②
撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能为
③
A在x处时，其受力满足 ，
以①式的代入上式，乃有 ④
当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有
要B对地无压力，即N=0，则上式变为 ⑤
因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即 = ⑥ 联立解②~⑥式，可得 。
显然，要出现B对地无压力的情况，应为≥（。当F=（时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F＞（时，B将出现离开地面向上跳起的情况。
§4．8 碰撞
质量和的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为和及和，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到
根据两物块在碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分类为下列几种 （1）弹性碰撞
在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有
结合动量守恒解得
对上述结果可作如下讨论 ①，则，，即交换速度。
②若＞＞，且有=0，则，即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。 ③若＜＜，且=0，则，，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。 （2） 完全非弹性碰撞
两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。
碰撞过程中损失的机械能为
（3 ）一般非弹性碰撞，恢复系数
一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为
①弹性碰撞， e=1。 ②完全非弹性碰撞 ，e=0。
③一般非弹性碰撞 0＜e＜1。 （4） 斜碰
两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，如图4-9-1所示 设两物间的恢复系数为e，设碰撞前、速度为、， 其法向、切向分量分别为、、、，碰后分离速度、，法向、切向速度分量、、、，则有
若两物接触处光滑，则应有、切向速度分量不变 、
若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。
§4．9 质心及质心运动 4．9．1 质心及质心位置
任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当需要将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。 注意：质心是一个假想的质点。
设空间有N个质点，其质量、位置分别记作、，质量组质心记为C，则质量、位置。
在、、直角坐标系中，记录质心的坐标位置为
4．9．2、质心的速度、加速度、动量
质心速度，在空间直角坐标系中，质心速度可表达为
质心的动量，质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。 质心的加速度
由上式可见，当质点组所受合外力为零时，质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。 同样，质点组的动量定理也可表述为
外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。 4．9．3、质心的动能与质点组的动能
以二个质点为例，质量、两质点相对于静止参照系速度、，质心C的速度，二质点相对于质心速度是和，可以证明有
即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。
§4．10天体的运动与能量
4．10．1、天体运动的机械能守恒
二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有
当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而≥0，则应满足E≥0，即
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为倍。
另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒 或
方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。
4．10．2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。 i）椭圆轨道
如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为 （a>b）
则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，则有
或由开普勒第二定律： 可解得
代入E得
ii)抛物线
设抛物线方程为
太阳在其焦点（）处，则m在抛物线顶点处能量为
可以证明抛物线顶点处曲率半径，则有得到
抛物线轨道能量