极限及几种求极限重要方法的探究
王龙科
西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070
摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法
一、引言
极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论 1、数列极限
定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?
为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…，或简单地记作{an}，其中an称为该数列的通项。
定义2设an为数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有
︱an-a︱<ε , 则称数列{an}收敛于定数a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limn→∞an=a，或an→a(a→∞)。若数列{an}不收敛，或称{an}为发散数列。 定理1若数列{an}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有︱an︱≤M。
定理3若limn→∞an=a>0，则对任何a′∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有an> a′。
定理4设{an}{bn}均为收敛数列，若存在正数N0，使得当n>N时有an≤bn，则limn→∞an≤limbn.
n→∞
定理5设收敛数列{an}，{bn}都以a为数列极限，数列{cn}满足：存在正数N0，当n>N时有an≤cn≤bn则数列{cn}收敛，且limn→∞cn=a。 定理6实数系中，有界的单调数列必有极限。
定理6（Cauchy收敛准则）数列{an}收敛的充分必要条件是：对任意的ε>0，存在正整数N，使得当n，m>N时有 ︱an-am︱<ε
2、函数极限
定义1设f为定义在[a,＋∞]上的函数，A为定数。若对于任意ε>0，存在正
数M（≥a），使得当x>M时有︱f(x)-A︱<ε，则称函数f当x趋于＋∞时以A为极限，记作limx→+∞f(x)=A。
定义2设函数f在点x0的摸个空心领域U0(x0；δ‘)内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（δ<δ‘），使得当0<︱x-x0︱<δ时有︱f(x)-A︱<ε,则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limx→x0f(x)=A 定理1若极限limx→x0f(x)存在，则此极限必唯一。
定理2若limx→x0f(x) 存在，则f在x0的某空心领域U0（x0）内有界。 定理3若limx→x0f(x)=A>0，则对任何正数rr>0
定理4设limx→x0f(x)与limx→x0g(x)都存在，且在某领域U0（x0；δ‘）内有f(x)≤g(x)，则limx→x0f x ≤limx→x0g(x).
定理5设f在U0（x0；δ‘）内有定义。limx→x0f(x)存在的充要条件是：对于任何含于U0（x0；δ‘）且以x0为极限的数列{xn}，极限limn→∞f(x0)都存在且相等. 定理6设函数f在U0（x0；δ‘）内有定义。limx→x0f(x)存在的充要条件是：任给ε>0，存在正数δ（δ<δ‘），使得对任何x′,x′′∈U0（x0；δ‘）有︱f(x′)-f(x′′)︱<ε
三、求解极限的若干方法 1、利用极限定义求极限
例1求limn→∞ a (其中a>1)
解：limn→∞ a=1,现用数列极限加以证明 令a-1=λ，则λ>0.有伯努利不等式推得 a=（1+λ）≥1+nλ=1+n(a?1) 或a?1≤对?ε>0，由(*)式可见，取N=[
n
1nn
n
n
1n1n
a?1n
(*)
1n1na?1ε
]，当n>N时，就有a-1<ε,即︱a-1︱<ε极
限定义知limn→∞ a=1，其中a>1。
例2求limx→3(3x?1)
解：limx→3(3x?1)=8，现用函数极限加以证明
∵︱(3x-1)-8︱=3︱x-3︱,要使︱(3x-1)-8︱<ε, 即3︱x-3︱<ε,只需要使︱x-3︱<3 ,则对?ε>0,?δ=3,使得当0<︱x-3︱<δ时，有︱(3x-1)-8︱<ε
∴由柯西收敛准则得minx→3(3x?1)=8。
利用极限定义求极限，先要观察出极值再加以证明，但此方法很少用，因为能够直接观察出极值的题目并不多见。
ε
ε
2、等价无穷小代换求极限
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量，而等价无穷小量是指在变化过程中比值为1的两个无穷小量，常用的无穷小量有：
当x→0时，sinx∽tanx∽tan?1x∽sin?1x∽x,ln(1+x)∽x, 1+x?1∽
xn
n
,1-cosx∽。以下分情况说明等价无穷小量代换在求极限过程中的应用：
2
x
（1）极限中只有积商因子的等价无穷小量之间的代换
定理 1设α，α1，β，β1是同一变化过程中的等价无穷小量，且α∽α1，β∽β1，若limβ1存在，则有limβ1=limβ。
1
1
ααα
例1 求 limx→0sin5x 解：当x→0时tan2x∽2x，sin5x∽5x则
tan2x
limx→0sin5x=limx→05x=5 推论1： α，α1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，若limf(x)存在，则有limαf x =limα1f(x)
例2 求limx→0(1?cosx)x?2 解：当x→0时，因为1-cosx∽
x2
tan2x2x2
，则limx→0(1?cosx)x2
?2
=lim
x2
x→02
x?2=2. 1
推论2： α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，若lim
αf(x)β
存在，则有lim
αf(x)β
= lim
α1f(x)β1
. 例3 求 limx→0解： limx→0
tan?1xcosx
cosxsinx
tan?1xcosx
=limx→0
xcosxx
=limcosx=1.
x→0
（2）当极限式子中不只含有商积因子还含有加减因子时不可以直接代换 定理2 α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，则limα
α+β
1+β1
=limα+1βα1β1+ββ=α
βα1lim+1
β
lim+1lim+1
=αβαlim+1
β
=1，故 α+β∽α1+β1。
例4 求 limx→0
sin?1x+sin5x
x
解:故sin?1x∽x,sin5x∽5x, sin?1x+sin5x∽6x则 limx→0
sin?1x+sin5x
x
=limx→0
6xx
=6. 定理3 α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，则 limα
α?β
1?β1
=limα?1βα1β1?ββ=α
βα1lim?1
β
lim?1lim?1
=αβαlim?1
β
=1，故 α?β∽α1?β1。
例5 求limx→0tan2x?3x 解：当x→0时，3x-sinx∽3x?x,tan2x?3x∽2x?3x则，limx→0tan2x?3x=limx→02x?3x=-2。
（3）对于复合函数的极限，若外函数连续，内函数为无穷小量，则其内函数也可作等价代换。 例6 求limx→0(1+e解：当x→0时，e
cosx
3x?sinx
3x?x
3x?sinx
sinx)
x1?cosx
x
2
cosx
cosx
sinx∽e，1?cosx∽x，则limx→0 1+e
x
sinx
x1?cosx=
2xlim（1+ex）=e2e。
x→0
3、利用洛必达法则求极限
（1）洛必达法则介绍
当x→a(x→∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或无穷大，那么limx→a
x→∞0
∞
F(x)f(x)
可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并简单记作0或∞。对于这种极限即使存在也不能用商的极限这一法则，此时可采用洛必达法。对limx→a
x→∞
F(x)f(x)
这种形式的极限首先要看当x→a(x→∞)时，函数f(x)与F(x)是否都趋
F(x)
F(x)
F(X)
于零或无穷。若limx→af(x)满足洛必达法则，则limx→af(x) =limx→af(x),此时要看
x→∞x→∞x→∞
与F(x)都趋于零或无穷大。若此时还满足洛必达当x→a(x→∞)时，两个函数f(x)
法则，那么还可以继续使用，否则就不能在使用洛必达法则。
（2）实例 例1 limx→∞
sinxx
1
sinxx
解：当x→∞时，x→0，而sinx是个有界量，从而limx→∞例2 limx→1x3?x2?x+1 解：limx→1x3?x2?x+1=limx→13x2?2x?1=limx→16x?2=2
x3?3x+2
3x2?3
6x
3
x3?3x+2
=0.
注意，当计算到limx→16x?2时分子和分母都不趋于零当x→1，故不能再使用洛必达法则。
6x
4、利用两个重要极限求一般极限
（1）关于limx→0
sinxx
=1
这一个重要极限实际上是两个无穷小量之比的极限，若分子分母分别求极限便得到0/0这一不定形式，故这一类型的极限为0/0的未定式。这里需要指出的是极限式中的x仅是一个符号没有具体的含义，故可以将极限式变换为limx→x0limx→x0
sinf(x)f(x)g(x)sinf(x)
=1，此处必须保证当x→x0时有f(x) →0。推广后=limx→x0
sinf(x)f(x)f(x)
*g(x)=1*limx→x0g(x)=limx→x0g(x)，此时必须保证x→x0
f(x)f(x)