专题三 一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__
(教材P39作业题第5题)
已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．
解：Δ＝b2－4ac>0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．
一 判断一元二次方程根的情况
[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( C )
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0 C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
[2013·潍坊]已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确
的是
( C )
A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
[2013·滨州]对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k
－1＝0的根的情况为
( C )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根．
[2012·绵阳]已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
【解析】 (1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论．
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根．
(2)①把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2， ∴原方程为x2－4x＋3＝0， 解这个方程得x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个根为x＝3.
②当1，3为直角边时，斜边为12＋32＝10， ∴周长为1＋3＋10＝4＋10；
当3为斜边时，另一直角边为32－12＝22， ∴周长为1＋3＋22＝4＋22.
二 确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围
[2013·泸州]若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相
等的实数根，则实数k的取值范围是
A．k＞－1 B．k＜1且k≠0 C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0
[2012·广州]已知关于x的一元二次方程x2－23x－k＝0有两个相
等的实数根，则k的值为__－3__．
( D )
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，
即(－23)2－4×(－k)＝12＋4k＝0， 解得k＝－3.
[2013·郴州]已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个
相等的实数根，则b的值是__2__．
已知关于x的一元二次方程x2＋kx－3＝0.
(1)求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k＝2时，用配方法解此一元二次方程． 解：(1)证明：∵a＝1，b＝k，c＝－3， ∴Δ＝k2－4×1×(－3)＝k2＋12， 不论k为何实数，k2≥0， ∴k2＋12＞0，即Δ＞0，
因此，不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)当k＝2时，原一元二次方程为x2＋2x－3＝0， ∴x2＋2x＋1＝4， ∴(x＋1)2＝4，
∴x＋1＝2或x＋1＝－2， ∴此时方程的根为x1＝1，x2＝－3.
[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个
不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实根， ∴20－8k>0， 5∴k<2.
(2)∵k为正整数，
5
∴0 当k＝1时，5－2k＝3，不是完全平方数； 当k＝2时，5－2k＝1，是完全平方数， ∴k＝2. 三 一元二次方程隐含条件的综合运用 [2013·六盘水]已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是 A．k＜－2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1 [2012·岳阳]关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实 1数根，则k的取值范围是__k≥－8且k≠0__． [2013·咸宁]关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根， 则整数a的最大值为 A．2 C．0 ( D ) ( C ) B．1 D．－1