常微分方程中常用的解题方法
1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，
二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一
d步得通解。如求方程
的通解。 ddyy=0是解，若y?0，分离变量，得所以原方程通解
(c?R) ?，两端分别积分，得ln|y|=x^2+c。y2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其
dy中X和Y的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式
?dx ??更具有一般性。若该方程中有
? 则存在u(x,y)，使得 ?du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c。
当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子?(x,y) ，使得通解方程?M(x,y)dx+?N(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例
?m?y??如求解ydx+(y-x)dy=0 解：
m只与Y有关，所以可以寻求形如?(y)的积分因子，代入，得
1ydx?，故与原方程通解的恰当方程为
xyln1ydyx，求其通解为y??????。 3、待定系数的方法，待定系数的方法是大学数学分析类学科中应用较为广
泛的一种方法。在常微分方程中，该方法主要体现在已利用定性分析、解的结构
或其他方法确定了解的形式，但是其中具体系数未定，这时我们往往将形式解代入微分方程，进一步求得系数或系数函数。应用该方法的关键在与确定的形式。
d2x例如，求解方程
dt2 解：相应齐次线性方程的特征根为? =+-1 ，
因为i 不是特征根，所以可以寻找形如 x'(t)=Acost+Bsint 的特解，代入原方程，得-2Acost-2Bsint=cost ，解得
而原方程通解为
xt?c1etc2et
??911A? 所以
2x't? ，从
??p?，从而
4、参数的方法，参数解法是常微分方程中重要而常用的方法之一，参数解法
是一种变量变化的方法，即在常微分方程中引人一个或几个新的变量，并用该变
量表示方程中未知函数，表达式即为方程的参数解，新变量即称参变量，参数解法往往能解决一些基本方法不能解决的问题。例如，求解方程
x3y'3 3解 ：令y'=p=tx，代入方程，得
dydx?dydxdxdt?所以原方程的通解为
???????????????x?，所以
，积分得13ty?31421 tc,x?1t3,y?314t321t32