高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x，y有解：由格林公式将
?Q?x??P?y，设C是有向闭曲线，则?Pdx?Qdy= ．
C?CP(x,y)dx?Q(x,y)dy????D(?Q?x??P?y)dxdy
其中D为C l围成的平面区域，及条件
?Q?x?P?y知，应该填写：0
例2．??ydx?xdy?_______，其中l是延圆周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周．
l 解：因为圆周(x?1)2?(y?1)2?1所围圆面积D为：12??，由格林公式得：
??lydx?xdy???D(1?1)dxdy=2?，应该填写：2?
例3 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（ ）．
l A．在域D 内恒有
?P?x??Q?y B．在域D 内恒有
?Q?x??P?y
C．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分?Pdx?Qdy?0
l? D．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分?Pdx?Qdy?0
l?解：若P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则
?Q?x?P?y?P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关?l?,(x,y)?D。
所以选择：B
例4 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A．?3yxdx?xdy B．?ydx?xdy
CC23C．?2xydx?xdy D．?3yxdx?ydy
CC223解：因为选项A中，
?P?y??(3yx)?y2?3x,3?Q?x??(x)?x3?3x，由曲线积分与路径无
2关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径l:??x??(t)?y??(t)，(??t??)，那么第二类曲线积分计算公式
． ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=（ ）
l A．?[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
?? B．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt
?? C．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt
?? D．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt
?? 解：因为积分曲线的路径由参数方程l:???x??(t)?y??(t)，(??t??)给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：?[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
? 所以正确选择：A
例6 计算?(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy，其中l 为由点A(3,0)经椭圆
lx2x?x?cost的上半弧到点B(?3,0)再沿直线回到A的路径． ??y?2sint 解：由于l为封闭曲线，故原式可写成
?(elx2xsiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy
Q?ecosy?x，由格林公式
2xx2x其中P?esiny?3y?x,x原式=?(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy?lxx??[D?Q?x??P?y]dxdy
=??[(ecosy?1)?(ecosy?3]dxdy
D =??2dxdy=2?D12??3?2=6?
例7．计算?(esiny?lxy22)dx?(ecosy?x12)dy，其中l 是上半圆周x?y22?2x
(y?0)和x轴围成平面区域边界的正向．
解：?P?esiny?xy22,Q?ecosy?x12，由格林公式得
?(esiny?lxy22x)dx?(ecosy?xx12)dy???[D?Q?x??P?y]dxdy
=??[ecosy?(ecosy?y)]dxdy=??ydxdy
DD?=?2sin?d?0?2cos?0rdr=
283??20sin?cos?d?
3? =
223(?cos?)242?23
0 例8 计算?xydy?xydx，其中l:x2?y2?1逆时针方向．
l 解：?P??x2y,Q?xy，由格林公式得
222?lxydy?xydx???[D?Q?x2???P?y1]dxdy
=
2??(x22?y)dxdy=?20d??rdr
03x?y?1 =2??
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