---------数量关系部分题目溯源： 1、交叉数列
(1)33，32，34，31，35，30，36，29， ？ A. 33 B. 37 C. 39 D. 41
选B 解答：交叉数列（即隔项或称奇偶数列）。分项后为等差数列。 (2) 34、36、35、35、（ ）、34、37、（ ） 都是交叉等差数列，并且公差为1和-1。
2、二级商数列或周期数列（项数多，中间空，商为分数或整数，） (1) 3， 9， 6， 9， 27， ？， 27 A. 15 B. 18 C. 20 D. 30
选B 解答：二级作商周期数列。两两作商得到：3、2/3、3/2、3、2/3、3/2。 3、二级差数列或周期数列（项数多） (1) 1、4、8、13、16、20、（ ） 规律：二级作差周期数列
4、分组数列（项数多，小大小大或者大小大小规律更替） (1) 2， 12， 6， 30， 25， 100， ？ A. 96 B. 86 C. 75 D. 50
选A 解答：变形奇偶数列。偶数项分别为前项乘以6、5、4得到，奇数项分别为前项减去6、5、4得到。 5、项数组合变化规律（倍数递推数列、 (1) 2，7，14，21，294，( )
规律为：第三项开始，奇数项为前两项之乘积，偶数项为前两项之和。 (2) 4， 23， 68， 101， ？
A. 128 B. 119 C. 74.75 D. 70.25
选C 解答：变倍数递推数列（即×等比数列）。
后一项分别为前一项剩以6、3、1.5、0.75再减去1得到。（即×等差数列-1） 4×6-1=23； 23×3-1=68； 68×1.5-1=101； 101×0.75-1=74.75
(2) 2，13，40，61，( )
只是把原题规律当中的减1变成了加1，连扩大的比例都没有改变。 （即×等比数列+1） (3) 323， 107， 35， 11， 3， ？ A. -5 B. 1/3 C. 1 D. 2
选B 解答：倍数递推数列。前一项减去2后乘以1/3得到后一项。
OR 后项=（前项-2）÷3 OR 后项=（前项+1）÷3-1
(323-2)×1/3=107；(107-2)×1/3=35；(35-2)×1/3=11；(11-2)×1/3=3；(3-2)×1/3=1/3
此题亦可倒过来看，即是后一项乘以3再加2得到前一项。 (4) 0，1，4，13，40，( )
后项=前项×3+1 OR 二级差呈等比数列
●年龄相等或倍数问题？
1、甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？
A、4 B、6 C、8 D、12
16+12+n=2（11+9+n）→n = -6
2、祖父年龄70岁，长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁，问多少年后，三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等？
70+n=20+13+7+3n →n = 15 ●十字交叉法：（实质：所有多出量之和等于所有少的量之和。） 1、求指标量（平均量）
例1：某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他们的平
均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？ A、68 B、70 C、75 D、78
解析：设低于80分的人的平均分是m，所以 90 ↘ ↗ 85-m 1/3 85
m ↗ ↘ 90-85 2/3 即 （85-m）×1/3=（90-85）×2/3，m=75
例2：甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，
放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？
解析：设乙容器中的浓度是m，所以 m ↘ ↗ 8.2%-4% 150 8.2%
4%↗ ↘ m-8.2% 450 即 （m-8.2%）×450=（8.2%-4%）×150，m=9.6% 2、求数量（求个别整体数量）
例1：车间共40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩是83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工多少人？
A.16人 B.18人 C.20人 D.24人
解析：正确答案：D 男工人数+女工人数=40 男工人数：女工人数=3: 2
男：83 ↘ ↗ 80-78 女工人数
80
女：78 ↗ ↘ 83-80 男工人数
例2：有浓度为4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10%，再加入300克4%的盐水后，浓度变为6.4%的盐水，问最初的盐水多少克?
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克
解析：y：x=（10%-6.4%）：（6.4%-4%）=3：2，则原有盐水蒸发后为200g，最初盐水为200×10%÷4%=500g。
10%↘ ↗ 6.4%-4% 300
6.4%
4% ↗ ↘ 10%-6.4% 蒸发后的重量 正确答案：D 3．涉及三者的运用：根据所有多出量之和等于所有少的量之和。
例：把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升？ 解析：设浓度为30%的溶液的用量是m，所以
20% ↘ ↗ 50%-36% 50-m-m/2 30% → 36% → 36%-30% m 50% ↗ ↘ 36%-20% m/2
即 （50%-36%）×（50-m-m/2）=（36%-30%）×m+（36%-20%）×（m/2），m=20
●错位重排问题：错位重排问题又称伯努利-欧拉装错信封问题。
1、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ A、6 B、10 C、12 D、20 C53*D3=20
●不定方程类题目
㈠类型一，利用数字特性，结合代入法
这类题目往往是会利用数字特性，例如整除、奇偶、尾数等特性，然后结合代入法，得到正确答案。 1、共有 20 个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得 5 元，不合格一个扣2 元，未完成的不得不扣。最后小王共收 56 元，那么他制作的玩具中不合格的共有（ ）个。
A.2 B.3 C.5 D.7
思路：设合格为 x，不合格为 y，所以 5x-2y=56，而由 5x=2y+56 可知，2y+56 一定是 5 的倍数，因此，可以排除 B、C；代入 D 选项，y=7，解得 x=14，x+y＞20，排除，只剩下 A 选项，（代入 A，y=2， x=12，xy＜20，满足题目条件），所以选 A。
2、一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付 21 元取货。售货员说：“您应该付 39 元才对。”请问书比杂志贵多少钱？（ ）
A.20 B.21 C.23 D.24
思路：设书的价格为 x，杂志的价格为 y，根据题意，我们很容易知道 x+y=39，题目让我们求 x-y，根据奇偶特性，两数和为奇数、两数差也为奇数，因此我们知道了排除 A、D，所以答案不是 B 就是 C，将选项 B 代入，x+y=39、x-y=21，可以解得 x=30，y=9，根据题意有 3+9=12，不满足题意；将选项 C代入，可以解得 x=31，y=8，满足 13+8=21 的条件；因此选 C。
3、有 271 位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有 37 个座位，小客车有 20 个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（ ）
A.1 辆 B.3 辆 C.2 辆 D.4 辆
思路：设大小客车分别为 x、y，根据题意有 37x+20y=271，由于 20y 是尾数为 0 的数，因此，37x的尾数一定是 1，代入选项，只有选 B。
㈡类型二，利用特解思想 这类题目，往往要求大家解不定方程组，解的时候，我们只需要将某一个未知数设为 0，往往是系数较大的未知数，然后求解。
4、甲买了 3 支签字笔、7 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 32 元，乙买了 4 支同样的签字笔、10支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱（ ）
A.10 元 B.11 元 C.17 元 D.21 元
思路：设签字笔、圆珠笔、铅笔的价格分别为 x、y、z，得方程组：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，为典型的不定方程组，可以利用特解思想，令系数较大的 y=0，然后求解，得到 x=11、z=-1，所以 x+y+z=10，选 A。
5、去超市购买商品，如果购买9件甲商品、5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元；如果购买13件甲商品、7件乙商品和1件丙商品，一共需要 86 元。若甲、乙、丙三种商品各买 2 件，共需要多少钱？
A.88 B.66 C.58 D.44
思路：解法同例 4，解得 2（x+y+z）=88，选 A。
类型三，单纯利用代入法来解这类题目条件不多，只需要单纯地用代入法，就可以将答案找到。
6、装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装 11 个，小盒每盒能装 8 个，要把 89 个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（ ）
A. 3，7 B. 4，6 C. 5，4 D. 6，3
思路：设大小盒分别为 x、y，则有 11x+8y=9，由于没有其他条件，我们只能采取直接代入法来解，最终，只有 A 选项符合条件，选 A。装盒子问题：直接代入法 7、有若干张卡片，其中一部分写着 1.1，另一部分写着 1.11，它们的和恰好是 43.21。写有 1.1和 1.11 的卡片各有多少张？
A. 8张，31 张 B. 28张，11张 C. 35张，11张 D. 41张，1张
思路：本题采用代入排除法。将选项中的数代入验证。只有选项 A 满足。所以选择 A 选项。 ●容斥原理：文氏图
1、电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人？ A、4 B、15 C、17 D、28
用容斥原理，100=62+34-11+x，尾数为5。
2、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？ A.27人 B.25人 C.19人 D.10 用容斥原理，40＋31+4-X＝50
●盈亏问题
盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏。不同的方法分配物品时经常会产生这种盈亏现象，盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化。
盈亏问题分为三类⑴直接计算型盈亏问题 ⑵条件转换型盈亏问题⑶关系互换型盈亏问题 盈亏问题的基本关系式
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 1.直接计算型盈亏问题 ①“盈亏”型例题
【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
解析：比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差5?4?1（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7?2?9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9?1?9（人）．共有砖：4?9?7?43（块）．
②“盈盈”型例题
【例 2】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
解析：“多8元”与“多4元”两者相差8?4?4（元），每个人要多出8?7?1（元），因此就知道，共有4?1?4（人），蛋糕价钱是8?4?8?24（元）．
【例 3】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
解析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9?2?7（个），两次分配之差是11?10?1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（个）桃子.
【例 4】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？
解析：由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：70?10?60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7?5?2（本），相差60本的学生有：60?2?30（人）．练习本有：30?5?70?220（本）（或30?7?10?220）．
【例 5】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．
解析：当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20?10?10个，所以大猴比小猴多10只．
③“亏亏”型例题
【例 6】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？
解析：“差9本”和“差2本”两者相差9?2?7（本），每个人要多发10?9?1（本），因此就知道，共有老师7?1?7（人），书有7?10?9?61（本）．
【例 7】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？
解析：由题意知：两次的分配结果相差：24?12?12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相9?6?3（块）6?4?12?12差：，多少人相差12块呢？12?3?4（人），糖果数是：（块）（或9?4?24?12）． 另练习：（选择题也可以用）
1、有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝？
A、16 B、22 C、42 D、48
（-10是2的倍数；+6是3的倍数）
2、若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上有4个空位。共有多少个同学？
（-5是4的倍数；+4是5的倍数）
3、若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生?( )
A.30人 B.34人 C.40人 D.44人 （-20是4的倍数；+4是8的倍数） [答案]D
●火车过桥问题(注意单位变化：1米每秒等于3.6 千米每小时) 基本数量关系：火车速度×时间=车长+桥长
火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行．两列火车的\追及\情况，请看下图：