?x?B0????x,y??A0??n?1??n???n????n????Ashx?Bchxcosy??????n?n??b??b???b??
由边界条件??0,y??0,??a,y??V0，得
??a?B0??A0??A?sh?n?1???n?n??n????n???ch?a??Bna??cos?y??V0?b??b???b?
???B0?n?1?n???cos?Bny??0
?b???0, 其中n?0,1,2,3,? 由此求得常数： Bn??A0V0a??0, 其中n?1,2,3,? , An那么，导电纸中的电位分布为
??x,y??V0aV0ax
(2) 由E??????ex，求得导电纸中电流密度为
J?x,y???E???V0aex
4-13 已知电导率为?的无限大 的导电媒质中均匀电流密度
J?exJ0。若沿
Y ? Z ? a J习题图4-13
J0rcos?）
Z轴方向挖出半
X 径为a的无限长圆柱孔，如习 题图4-13所示。试求导电媒质 中的电位分布。
（提示：当r??时，电位????解 由于所讨论的空间是无源的，故电位应满足拉普拉斯方程 ?2??0。取圆柱坐标系，则其通解可表示为
11
??r,?,z??C0lnr?D0???rn?1?n?Ansinn??Bncosn???r?n?An?sinn??Bn?cosn???
(1) 在r??区域中，圆柱孔的影响可以忽略，则J0??E0，又E0??????exJ0??????x???x，得
J0x????J0rcos?
??????可见，当r??时，电位函数为cos?的函数，因此??r,?,z??均应为零，且n?1。那么 表达式中系数C0,D0,An,An??r,?,z??rB1cos??11??B1?cos???rB1?B1??cos?rr??
当r??时，即 rB1cos???J0?rcos?，得 B1??J0?
(2) 由于圆柱孔内不可能有电流，所以其表面不可能存在法向电场，因而表面不可能存在电荷。因此，当r?a时，
???r?0。由此获知，
???r1a2r?a1????B1?2B1??cos??0
a??可见，B1?B1?，即B1??aB1??2J0?2a。
2综上可知B1??J0?及B1???J0?a，其余常数均为零。
那么，导电媒质中的电位分布函数为
2J0?a??r??cos? ??r,?,z??????r?? 12