过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质
经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。 我们先来研究抛物线的性质．
性质一：过抛物线焦点F的弦AB两端点的切线l1,l2的交点P的轨迹是相应
?的准线,且?APB是定值．
2证明：设抛物线的方程为y2?2px（p?0），过焦点F(p,0)的焦点弦为AB，
2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则过A,B两点的切线l1,l2的方程分别为 yy1?p(x?x1) ① yy2?p(x?x2) ②
)?(p1y2?x. )y x由①?y2－②?y1得 x(2y?1y2y12y2因为x1?,x2?,y1?y2??p2,y1?y2.
2p2pC A P F B D N M 所以x??p.
2又因为k1?pp,k2?,y1?y2??p2. y1y2所以k1?k2??1，即?APB??.
2当然证明?APB??，也可以用抛物线的
2光学性质来证显得更为简洁.
过A作AM∥x轴，过B作BN∥X轴． 由抛物线的光学性质知：
?CAM??PAB,?DBN??PBA． ??MAB??NBA?1800．
?1800?2?PAB?1800?2?PBA?1800． 即?PAB??PBA?900．
? 即?APB?．
2????????PF?AB利用平几知识及抛物线定义容易得到.（证明略）
抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质．
性质二：过椭圆焦点F的弦AB（不与长轴重合）两端点A,B的切线l1,l2的
2e]．(e交点P的轨迹是焦点F相应的准线，且?APB的取值范围为(0,arctan21?e为椭圆的离心率)
性质三：若过双曲线焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,过A,B两点的双曲线的切线l1,l2的交点P的轨迹是焦点F相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,且当A,B在同一支上时?APB的取值范围为
2e2a[??arctan2,??arctan)；当A,B在两支上时?APB的范围是
e?1b2a(0,arctan).(e为双曲线的离心率)
b 先证明性质二：
x2y2 设椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c,0)，焦点弦AB（不与长轴重
ab合）两端点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则过A,B两点的切线l1,l2的方程分别为：
b2x1x?a2y1y?a2b2 ① b2x2x?a2y2y?a2b2 ②
由①②得b2x(y2x1?y1x2)?a2b2(y2?y1) （*）
????????由 FA?(x1?c,y1) ，BF?(c?x2,?y2)． ∵A,F,B三点共线 ．
所以 y2x1?y1x2?c(y2?y1) 代入（*）
y A P O F B x a2得x?，即P点的轨迹是焦点F相应的
c准线．
2e]： 下面证明?APB的取值范围为(0,arctan21?e不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方,即y1?y2． 则?APB即为l1到l2的角.
b2x1b2x2∵kl1??2? ，kl2??2?．
ay1ay2b2x2b2x1?2??2?kl2?kl1ay2ay1 ?l1到l2的角?APB的正切值为tan?APB??b4x1x21?kl1?kl21?4?ay1y2 a2b2(x1y2?x2y1)a2b2c(y2?y1)=4． ?444ay1y2?bx1x2ay1y2?bx1x2设AB所在直线为x?my?c代入椭圆方程即得
b2(my?c)2?a2y2?a2b2 化简整理得 y2(b2m2?a2)?2b2cmy?b4?0．
2b2cmb4?y1?y2??22 ， y1?y2??22．
bm?a2bm?a2?a4y1y2?b4x1x2?a4y1y2?b4(my1?c)(my2?c) ＝(a4?b4m2)y1y2?b4mc(y1?y2)?b4c2
144424242222?2[?b(a?bm)?bcm?(?2bcm)?bc(a?bm)] 22a?bm14482622242622?2[?ab?bm?2bcm?abc?bcm] 22a?bm1a2b6(1?m2)26262?2[?ab?abm]??2． 2222a?bma?bm 又?y2?y1??(y1?y2)??(y1?y2)?4y1y2 4b4c2m24b41??????4b4c2m2?4b6m2?4a2b42222222222(bm?a)bm?abm?a12ab242224?4bam?4ab??221?m2． ??2222bm?abm?aa2b2c?2ab21?m22ac1 ?tan?APB?． ??26222ab(1?m)b1?m12ac12ac ?0??1 ∴ tan?APB?2??(0,2]．
bb1?m21?m2?因为y?tan?在(0,)是增函数．
2
2ac2e]． 故?APB 的取值范围是(0,arctan2]即(0,arctan2b1?e下面证明性质三：
x2y2 设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F(c,0)，过焦点F(c,0)的直线
ab与双曲线交于两点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，过A,B两点的切线分别为l1,l2，其方程分别为：
b2x1x?a2y1y?a2b2 ①
b2x2x?a2y2y?a2b2 ②
由①②得b2x(y2x1?y1x2)?a2b2(y2?y1) （*）
????????由FA?(x1?c,y1) ， BF?(c?x2,?y2)． ∵A,F,B三点共线 ，
所以 y2x1?y1x2?c(y2?y1) 代入（*）
a2得x?（y??ab）．即P点的轨迹是焦点
ccF相应的准线（除去准线与渐近线的交点）．
下面证明?APB的取值范围：
(1)当A(x1,y1),B(x2,y2)在同一支上时，不失
A P B F 一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方，即y1?y2,则?APB即为l2到l1的角.如图所示．
b2x1b2x2∵kl1?2? ， kl2?2?．
ay1ay2b2x1b2x2??2?2kl1?kl2ay1ay2 l2到l1的角?APB的正切值为tan?APB??4bxx1?kl1?kl21?4?12ay1y2 a2b2(x1y2?x2y1)a2b2c(y2?y1)=4． ?444ay1y2?bx1x2ay1y2?bx1x2 设AB所在直线为x?my?c, 因为A(x,所以)1,y1),B(x2,y2在同一支上
a0?m? ，将x?my?c代入双曲线方程化简整理得
by2(b2m2?a2)?2b2cmy?b4?0．
2b2cmb4?y1?y2??22 ， y1?y2?22．
bm?a2bm?a2?a4y1y2?b4x1x2?a4y1y2?b4(my1?c)(my2?c) ＝(a4?b4m2)y1y2?b4mc(y1?y2)?b4c2
1?22[b4(a4?b4m2)?b4cm?2b2cm?b4c2(b2m2?a2)] 2bm?a14482622622242?22[ab?bm?2bcm?bcm?abc] 2bm?a1a2b6(1?m2)a2b6(1?m2)26262?22[?ab?abm]??22?2． bm?a2bm?a2a?b2m2 又?y2?y1??(y1?y2)??(y1?y2)?4y1y2 4b4c2m24b414226224??????4bcm?4bm?4ab 2222222222(a?bm)a?bma?bm12ab2422242??2?4bam?4ab??1?m． 22222a?bma?bma2b2c?2ab21?m22ac1 ?tan?APB??． ???2a2b6(1?m2)b21?ma2ac12ac2a ?0?m? ，∴ tan?APB??2??[?2,?)．
bbbb1?m2? 因为y?tan?在(,?)是增函数，
22ac2a 故?APB 的取值范围是[??arctan2,??arctan)即
bb2e2a[??arctan2,??arctan)．
e?1b(2)当A(x1,y1),B(x2,y2)不在在同一支上时，不失一般性设点A在右支、点B在左支，根据对称性先考虑kAB?0的情况，则?APB即为l2到l1的角，如图所示：
b2x1b2x2∵kl1?2? ，kl2?2?．
ay1ay2l2到l1的角?APB的正切值为
b2x1b2x2??2?2kl1?kl2ay1ay2 tan?APB??b4x1x21?kl1?kl21?4?ay1y2
a2b2(x1y2?x2y1)a2b2c(y2?y1)=4. ?444ay1y2?bx1x2ay1y2?bx1x2 设AB所在直线为x?my?c, 因为
akAB?0，所以m? . A(1x,1y),B2(x在两支上且,y)b将x?my?c代入双曲线方程化简整理得
y2(b2m2?a2)?2b2cmy?b4?0
2b2cmb4?y1?y2??22 , y1?y2?22. 22bm?abm?a?a4y1y2?b4x1x2?a4y1y2?b4(my1?c)(my2?c) a2b6(1?m2)＝(a?bm)y1y2?bmc(y1?y2)?bc?2
a?b2m2 又?y2?y1??(y1?y2)??(y1?y2)?4y1y2 442442P F A B 4b4c2m24b41??????4b4c2m2?4b6m2?4a2b4 2222222222(a?bm)a?bmbm?a12ab2422242??22?4bam?4ab??1?m. 2222bm?abm?aa2b2c?2ab21?m22ac1 ?tan?APB?. ??26222ab(1?m)b1?ma2ac12a ?m? ,∴ tan?APB?2??(0,).
bbb1?m2??在(0,)是增函数， 故?APB 的取值范围是 因为y?tan22a(0,arctan． )b根据对称性知当m??a时上述结论也成立．
b所以当A(x1,y1),B(x2,y2)在两支上时?APB 的取值范围是(0,arctan2a)． b通过上述证明我们还可以得到下面一个推论：
过圆锥曲线C的准线l上一点作C的两条切线,则两切点与准线l相应焦点共线．
证明略． 内部资料 仅供参考