19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同
22
表示方法，直接写出代数式（a+b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是 _________ ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= _________ ； （3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为 _________ ．
20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
6
21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示， 如：（2a+b）（a+b）=2a+3ab+b，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
2
2
请你写出图（3）所表示的代数恒等式 _________ ． 请你写出图（4）所表示的代数恒等式 _________ ．
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22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _________ ． （2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： _________ ；方法2： _________ ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
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代数式：（x+y），（x﹣y），4xy． _________ （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
2
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）= _________ ．
23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________ ． （2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积． 方法一： _________ ；方法二： _________ ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
22
（m+n）；（m﹣n）； mm
2
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）的值．
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完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题） 1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验
证的式子是（ ）
2 A．（m+n）﹣（m﹣n）2222
B． C． （m+n）﹣（m+n）=2mn （m﹣n）+2mn=m+n D． （m+n）（m﹣n）=m﹣2n 2222=4mn 考点： 完全平方公式的几何背景． 专题： 计算题；压轴题． 22分析： 根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m+n，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答． 222解答： 解：（m+n）﹣（m+n）=2mn． 故选B． 点评： 本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）
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=a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
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222 A．D． （a+b）（a﹣b）=a﹣b B． （a﹣b）=a﹣2ab+b C． a（a+b）=a+ab a（a﹣b）=a﹣ab 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积． 解答： 解：大正方形的面积=（a﹣b）2， 22还可以表示为a﹣2ab+b， 222∴（a﹣b）=a﹣2ab+b． 故选B． 点评： 正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力． 3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
2222菁优网版权所有 9
222222222 A．C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） B． （a+b）=a+2ab+b （a﹣b）=a﹣2ab+b D． a（a+b）=a+ab 考点： 完全平方公式的几何背景． 22分析： 根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）和b，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分菁优网版权所有的面积是（a﹣b），即可得出选项． 解答： 解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b， 2即大阴影部分的面积是（a﹣b）， 222∴（a﹣b）=a﹣2ab+b， 故选C． 点评： 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度． 4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
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2222 ab A．B． C． D． （a+b） （a﹣b） a﹣b 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案． 解答： 解：由题意可得，正方形的边长为（a+b）， 2故正方形的面积为（a+b）， 又∵原矩形的面积为4ab， 22∴中间空的部分的面积=（a+b）﹣4ab=（a﹣b）． 故选C． 点评： 此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般． 5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
菁优网版权所有 222222 A．a﹣b=a（a﹣b）+b（aB． （a﹣b）=a﹣2ab+b C． （a+b）=a+2ab+b ﹣b） 2222D． a﹣b=（a+b）（a﹣b） 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 通过图中几个图形的面积的关系来进行推导． 菁优网版权所有 10