xy + 1 ? 1
， ③ lim
x!0 y!0
1 ? cos ?
x2 + y2
￠ ?
x2 + y2￠
ex2+y2 。
【求解】双重极限问题可以由下面语句直接求解。>> syms x y
fa=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3; limit(limit(fa,x,-1),y,2) ans = -6
>> fb=x*y/(sqrt(x*y+1)-1); limit(limit(fb,x,0),y,0) ans = 2
>> fc=(1-cos(x^2+y^2))*exp(x^2+y^2)/(x^2+y^2); limit(limit(fc,x,0),y,0) ans =
31
0
3 求出下面函数的导数。 ① y(x) = q
x sin x p 1 ? ex， ② y = 1 ? p cos ax x (1 ? cos p ax)
③ atan y x = ln(x2 + y2)， ④ y(x) = ? 1
na ln xn + a xn ; n > 0
18 第3 章微积分问题的计算机求解
【求解】由求导函数diff() 可以直接得出如下结果，其中③ 为隐函数，
32
故需要用隐函数求 导公式得出导数。 >> syms x;
f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x))); simple(diff(f)) ans =
1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))^(1/2))^(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))^(1/2)+ x*cos(x)*(1-exp(x))^(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x))^(1/2)*exp(x)) >> syms a x
y=(1-sqrt(cos(a*x)))/(x*(1-cos(sqrt(a*x)))) simple(diff(y)) ans =
1/2/cos(a*x)^(1/2)*sin(a*x)*a/x/(1-cos((a*x)^(1/2)))-
(1-cos(a*x)^(1/2))/x^2/(1-cos((a*x)^(1/2)))-1/2*(1-cos(a*x)^(1/2)) /x/(1-cos((a*x)^(1/2)))^2*sin((a*x)^(1/2))/(a*x)^(1/2)*a >> f=atan(y/x)-log(x^2+y^2); f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y)) f1 =
(y+2*x)/(x-2*y)
>> syms n positive; syms a; f=-log((x^n+a)/x^n)/(n*a); diff(f,x) ans =
-(n/x-(x^n+a)/(x^n)*n/x)/(x^n+a)*x^n/n/a 用LATEX 表示上面的结果，则
33
① 1=2 μ sin (x)
p 1 ? ex + x cos (x)
p 1 ? ex ? 1=2 x sin (x) ex p 1 ? ex ? 1 q
x sin (x) p 1 ? ex ② 1=2 sin (ax) a p cos (ax)x (1 ? cos (
p ax)) ? 1 ?
34
p cos (ax)
x2 (1 ? cos ( p ax)) ? 1=2
3 1 ? p cos (ax) ′ sin (
p ax) a x (1 ? cos ( p ax))2 p ax ③
y + 2 x x ? 2 y ④ ?
35