第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
2（1）1?11（3）aa201abc?4?1； （2）bca 83cab11xyx?ybc； （4）yx?yx. b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8
?183?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) =?24?8?16?4 =?4
abc（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc
cab?3abc?a3?b3?c3
111bc?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 （3）aa2b2c2?(a?b)(b?c)(c?a)
xyx?yyx?yx （4）
x?yxy?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；
（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
1
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
（6）逆序数为n(n?1)
3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …
(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为
n(n?1)： 2(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3 已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
4.计算下列各行列式：
?4?1（1）??10??04??214?3?122??； （2）??1230???7??506?a1ae???abac??1b??； （4）??cdde（3）bd???0?1?cf?ef???bf??00解
125120211?1??； 2??2?00?10?? c1???1d?41(1)
1001251202142c2?c30c4?7c374?112103002?1002
2?14102
4?1?10=122?(?1)4?3 103?144?1109910c2?c3=12?200?2=0
1c1?2c310314171714
213?1(2)
12502r4?r2312
412121c4?c23?1321262501402?122r4?r13
230114004022
306214?12230002=0 00?abacae?bce(3)bd?cdde=adfb?ce
bfcf?efbc?e?111?11=4abcdef =adfbce111?1
a10001?aba0?1b10r1?ar2?1b10(4)
0?1c10?1c100?1d00?1d1?aba01?abaadc3?dc22?1?1c1 ?1c1?cd =(?1)(?1)0?1d0?10ad3?21?ab=(?1)(?1)=abcd?ab?cd?ad?1
?11?cd
5.证明:
3
a2abb23(1)2aa?b2b=(a?b);
111ax?byay?bzaz?bxxyz33(2)ay?bzaz?bxax?by=(a?b)yzx;
az?bxax?byay?bzzxya2(a?1)2(a?2)2(a?3)2b2(b?1)2(b?2)2(b?3)2(3)?0;
2222c(c?1)(c?2)(c?3)d2(d?1)2(d?2)2(d?3)21111abcd(4)2 222abcda4b4c4d4?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); x?10?000x?1?00(5)???????xn?a1xn?1???an?1x?an.
000?x?1anan?1an?2?a2x?a1证明
a2ab?a2b2?a2c2?c12ab?a2b?2a (1)左边?c3?c1100ab?a2b2?a2?(?1)
b?a2b?2aab?a?(a?b)3?右边 ?(b?a)(b?a)12xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx按第一列ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by (2)左边分开zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx分别再分2ayaz?bxx?0?0?bzxax?by
zax?byyxyay?bz3?14
xy分别再分3ayzzxxyz?a3yzx?b3zxyzxyxyzyzx?b3zxy
xyzyzzx(?1)2?右边 xy(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2 2(c?3)(d?3)2a2a2?(2a?1)b2b2?(2b?1)(3) 左边?c2c2?(2c?1)d2d2?(2d?1)a22a?14a?4c2?c1b22b?14b?4c3?c1c22c?14c?4c4?c1d22d?14d?46a?96b?9
6c?96d?9a2a4a?46a?9a214a?46a?9按第二列b2b4b?46b?9b214b?46b?9 22?2分成二项cc4c?46c?9c14c?46c?9d2d4d?46d?9d214d?46d?9c3?4c2a2a49a214a6a第一项c4?6c2b2b49b214b6b?2?0
2c3?4c2cc49c14c6c第二项c4?9c2d2d49d214d6d1000ab?ac?ad?a(4) 左边?2 222222ab?ac?ad?aa4b4?a4c4?a4d4?a4b?ac?ad?a22c2?a2d2?a2 =b?ab2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)111c?ad?a =(b?a)(c?a)(d?a)b?ab2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)=(b?a)(c?a)(d?a)?
5